1.2 差分法方程式

計算手続きの基本的な考え方は熱方程式の場合と同様です。

「空間変数」$x$ については、区間 $[0,1]$ を $N$ 等分します：

$$h=1/N, \quad x_i=ih \quad \hbox{($i=0,1,2,\cdots,N$)}.$$

「時間変数」 $t$ については、刻み幅 (間隔) を $\tau>0$ としましょう。 $t_n$ を

$$t_n=n\tau \quad \hbox{($n=0,1,\cdots$)}$$

で定めます。

方程式 (1.1) に現れる二つの微分、 $t$ に関する二階偏微分 $\dsp\frac{\rd u}{\rd t}(x,t)$ と $x$ に 関する二階偏微分 $\dsp\frac{\rd^2 u}{\rd x^2}(x,t)$ の双方を、 ともに「$2$階中心差分商」で近似すると次の近似方程式が得られます：

$$\frac{u(x,t+\tau)-2u(x,t)+u(x,t-\tau)}{\tau^2}= \frac{u(x+h,t)-2u(x,t)+u(x-h,t)}{h^2}.$$

そこで格子点上 $(x_i,t_n)$ での $u$ の近似値 $U_{i}^{n}$ を決定する方程式 としては次のものが考えられます。

$$\frac{U_{i}^{n+1}-2U_{i}^{n}+U_{i}^{n-1}}{\tau^2} =\frac{U_{i+1}^... ...{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{h^2} \quad \hbox{($i=1,2,\cdots,N-1$; $n=1,2,3,\cdots$)},$$

これを変形すると

$$U_{i}^{n+1}= 2(1-\lambda^2)U_{i}^{n} +\lambda^2(U_{i-1}^{n}+U_{i+1}^{n}) -U_{i}^{n-1} \quad \hbox{($i=1,2,\cdots,N-1$; $n=1,2,3,\cdots$)}$$ (1.6)

となります。ただし $\lambda=\tau/h$ と置きました。

一方 (1.2) からは、ごく自然に

$$U_{i,0}=f(x_i) \quad \hbox{($i=0,1,2,\cdots,N$)}$$ (1.7)

が得られます。 一方 (1.3) からは、 例えば (他にも色々なやり方が考えられますが)

$$U_{i}^{1}= (1-\lambda^2)f(x_i) +\frac{\lambda^2}{2}(f(x_{i-1})+f(x_{i+1})) +\tau g(x_i) \quad\hbox{($1\le i\le N$)}$$ (1.8)

が得られます^1.3。 (2.3.1) からは

$$U_{0}^{n}=U_{N}^{n}=0 \quad \hbox{($n=0,1,2,\cdots$)},$$ (1.9)

また (2.25) からは

$$U_{0}^{n}=U_{1}^{n}, \quad U_{N}^{n}=U_{N-1}^{n} \quad \hbox{($n=0,1,2,\cdots$)}$$ (1.10)

が考えられます。

数列 $\{U_{i}^{n}\}$ に関する 方程式 (1.6), (1.7), (1.8), (2.5) は 二つの添字 $i$, $n$ を含んでいますが、 (1.6) を漸化式として、 時刻に関する方の添字 $n$ の小さい方から順に計算していくことが出来ます。 熱方程式の場合は、二番目の添字のところには、 $n$, $n+1$ しか現れませんでしたが、 (1.6) では $n-1$, $n$, $n+1$ と 3 つのものが現れています。 $n+1$ での値を求めるために、一段前の $n$ での値のみならず、 もう一段前の $n-1$ での値が必要になっているわけです。 このことは、 もとの方程式が時刻 $t$ に関して $2$ 階であることに対応しています。 そのため計算を出発させるためには、$n=0$ での値だけでなく、 $n=1$ での値も必要になりますが、 それは時刻に関する $1$ 階の微分を指定している 初期条件 (1.3) に 由来する (1.8) で与えられています。

熱方程式の場合と同様に、$h$, $\tau$ と性質の異なる刻み幅が 2 つあり ます。前回と同様に、安定に計算するためには両者を全く勝手なやり方で 0 に持っていくだけでは不十分です。どうすればいいか、とりあえず結論だけ述 べておくと「$\lambda$ を $0<\lambda\le1$ と選んで固定したまま、 $h$, $\tau\to 0$」で OK です。