2.2.2.1 $e^{i\alpha x}b(\alpha ,t)$ の形の一般解

$t$ の値を固定するごとに、$x$ の関数として、 $e^{i\alpha x}$ で展開でき る、つまり

$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R b(\alpha,t)e^{i\alpha x}\,\D\alpha$$

と表わすことができるであろう。そして任意の $\alpha$ に対して、 $v(x,t)\DefEq b(\alpha,t)e^{i\alpha x}$ 自身が差分方程式

$$v(x,t+k)-2v(x,t)+v(x,t-k)=\lambda^2(v(x+h,t)-2v(x,t)+v(x-h,t))$$ (2.1)

を満たさねばならない。代入すると

$$\left[b(\alpha,t+k)-2b(\alpha,t)+b(\alpha,t-k)\right]e^{i\alpha x... ...left[ -4\sin^2\left(\frac{\alpha h}{2}\right)e^{i\alpha x} \right] b(\alpha,t)$$

であるから、

$$b(\alpha,t+k)-2b(\alpha,t)+b(\alpha,t-k) = -4\lambda^2 \sin^2\left(\frac{\alpha h}{2}\right) b(\alpha,t).$$ (2.2)

これは $\alpha$ をパラメーターに持つ $2$ 階の線形差分方程式である。

この解空間は $2$ 次元の線型空間であるが、一般解を求めるには $b(\alpha,t)=e^{i\beta t}$ とおいて、代入してみれば良いのであった。

$$b(\alpha,t+k)-2b(\alpha,t)+b(\alpha,t-k) =e^{i\beta (t+k)}-2e^{i\beta t}+e^{i\beta (t-k)} =-4\sin^2\left(\frac{\beta k}{2}\right)e^{i\beta t}$$

であるから (2.4) は

$$-4\sin^2\left(\frac{\beta k}{2}\right)e^{i\beta t} = -4\lambda^2 \sin^2\left(\frac{\alpha h}{2}\right) e^{i\beta t},$$

すなわち

$$\sin^2\left(\frac{\beta k}{2}\right) =\lambda^2 \sin^2\left(\frac{\alpha h}{2}\right)$$ (2.3)

となる。

$0<\lambda\le1$ と仮定すると、 任意の $\alpha$ に対して (2.5) の 右辺は 0 以上 $1$ 以下の数であるから、 $\beta$ は実数である。 また (2.5) を満たす一つの $\beta =\beta_\alpha$ が得られた場合、他の $\beta$ は

$$\exists n\in\Z$$   s.t.$$\quad \frac{\beta k}{2}= \pm\left(\frac{\beta_\alpha k}{2}\right)+n\pi$$

を満たす。すると $e^{i\beta k}$ の値としては

$$e^{\pm i\beta_\alpha k}$$

の二通りしかないことが分かる。 ゆえに (2.4) の一般解は、

$$b(\alpha,t) = C_1 e^{i\beta_\alpha t}+C_2e^{-i\beta_\alpha t} \mbox{($C_1$, $C_2$\ は任意定数)}$$

$$= (A\cos\beta_\alpha t+B\sin\beta_\alpha t) \mbox{($A$, $B$\ は任意定数)} .$$

ゆえに (2.3) の一般解は

$$v(x,t)=e^{i \alpha x}(A\cos\beta_\alpha t+B\sin\beta_\alpha t)$$   $$\mbox{($A$, $B$\ は任意定数)}$$$$.$$