2.2.2.2 初期条件に対応する差分方程式

微分方程式の初期値問題

$$u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) \mbox{($(x,t)\in\R\times\R$)} ,$$ (2.4)

$$u(x,0) = f(x) \mbox{($x\in\R$)} ,$$ (2.5)

$$u_t(x,0) = g(x) \mbox{($x\in\R$)}$$ (2.6)

を解くことを目標としているが、 (2.7) に対応する差分方程式として、

$$v(x,0)=f(x)$$

を採用するのは当然として、 (2.8) に対応する差分方程式として、ここでは

$$\frac{v(x,k)-v(x,-k)}{2k}=g(x)$$ (2.7)

を採用する。

素朴に考えると

$$u(x,k)\kinji u(x,0)+k u_t(x,0)=f(x)+k\psi(x)$$

であるから、

$$v(x,k)=f(x)+k\psi(x)$$

なども考えられるところであるが、これは誤差が $O(k)$ であり、 好ましくない。

また、菊地・山本 [5] では、$t=0$ でも波動方程式が 成り立つと仮定して得られる

$$u(x,k) \kinji u(x,0)+k u_t(x,0)+\frac{k^2}{2}u_{tt}(x,0)$$

$$= u(x,0)+k u_t(x,0)+\frac{k^2}{2}u_{xx}(x,0)$$

$$= f(x)+k g(x)+\frac{k^2}{2}f''(x)$$

$$\kinji f(x)+k g(x)+\frac{k^2}{2}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$

から、

$$v(x,k)=f(x)+k g(x)+\frac{\lambda^2}{2}(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))$$ (2.8)

を推奨していた。

(2.9) は、$1$ 階中心差分近似という意 味は明白だが、一体 $v(x,-k)$ はどうやって求めるのか？という疑問が生じる かもしれない。これについて、以下一つの回答を与える。それは上の菊地・山本 の仮定と同様に $t=0$ でも波動方程式に対応する差分方程式が成り立つ、つま り $t=0$ で $Lv=0$ が成り立つと仮定することである:

$$\frac{v(x,k)-2v(x,0)+v(x,-k)}{k^2} =\frac{v(x+h,0)-2v(x,0)+v(x-h,0)}{h^2}.$$

これから

$$v(x,k)+v(x,-k)=\lambda^2(f(x+k)-2f(x)+f(x-k))+2f(x).$$

この方程式と、(2.9) から得られる

$$v(x,k)-v(x,-k)=2kg(x)$$

を連立すると、

$$v(x,k) = \frac{1}{2}\left[\lambda^2(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))+2f(x)+2k g(x)\right]$$

$$= f(x)+kg(x)+\frac{\lambda^2}{2}(f(x+h)-2f(x)+f(x-h)).$$

これは (2.17) と一致している。