3.5 Hilbert 空間の閉線型作用素に基づく直和分解

前節で利用した Hilbert 空間の直和分解に関する 命題の後始末をしておく。

証明

$\{x_n\}$ が $x_n\in N(A)$ , $x_n\to x$ in $X$ を満たすとすると、 $A x_n=0$ より $A x_n\to 0$ . 閉線型作用素の定義より $x\in D(A)$ . $A x=0$ . ゆえに $x\in N(A)$ . これは $N(A)$ が閉集合であることを示している。 $\qedsymbol$

証明

(1)

(線型部分空間であること) $x,y\in A^\perp$ , $\lambda,\mu\in K$ とするとき $\forall z\in A$ について、

$$(\lambda x+\mu y,z)=\lambda(x,z)+\mu(y,z) =\lambda 0+\mu 0=0$$

であるから、 $\lambda x+\mu y\in A^\perp$ .

(閉集合であること) $\{x_n\}$ が $x_n\in A^\perp$ , $x_n\to x$ を満たすとすると、 $\forall z\in A$ について、

$$0=(x_n,z)\to (x,z)\quad\therefore (x,z)=0.$$

ゆえに $x\in A^\perp$ .

(2)

$x\in B^\perp$ とすると、 $\forall b\in B$ に 対して $(x,b)=0$ . 明らかに $\forall a\in A$ に対して $(x,a)=0$ . ゆえに $x\in A^\perp$ .

(3)

$A\subset \overline A$ より、 (2) を用いて $A^\perp\supset(\overline A)^\perp$ . 逆向きの包含関係を証明するため、 $x\in A^\perp$ とする。 $\forall y\in\overline A$ に 対して、 $\exists \{y_n\}$ s.t. $y_n\in A$ ($n\in\N$ ) かつ $y_n\to y$ ( $n\to\infty$ ). このとき

$$0=(x,y_n)\to (x,y)\quad\therefore (x,y)=0.$$

ゆえに $x\in\left(\overline A\right)^\perp$ . ゆえに $A^\perp\subset \left(\overline A\right)^\perp$ .

(4)

(えーと、どうやるんだっけ？) $\qedsymbol$

証明

(この命題は藤田・黒田・伊藤 [7] の演習問題。 証明してみよう :-) $\qedsymbol$