3.4 定理 3.3.1の証明

まず次のことを注意しておく。

• 上にも書いたように関数解析の多くのテキストに (i) $\Iff$ (iv) の証明が載っている。 ここでは認めよう。
• $A$ , $A^\ast$ は連続であるので、

  (a)

  (ii) が成り立つならば、 (ii) の不等式は $\forall v\in \overline{R(A^\ast)}$ について成り立つ。

  (b)

  (iii) が成り立つならば、 (iii) の不等式は $\forall w\in \overline{R(A^\ast)}$ について成り立つ。

• Hilbert 空間における稠密な定義域を持つ閉線型作用素に対して、
  $$X=\overline{R(A^\ast)}\oplus N(A),\quad Y=\overline{R(A)}\oplus N(A^\ast)$$   (いずれも直交直和分解)
  が成り立つ (次の節で後始末)。