4. デルタ関数は $L^p$ の元ではないこと

$I=]-1,1[$ とおき、Heaviside 関数 $H\colon \to \R$ を

$$H(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \hbox{($0\le x<1$)} \\ 0 & \hbox{($-1<x< 0$)} \end{array} \right.$$

で定めるとき、Heaviside 関数の弱微分は $L^p$ に属さない。つまり

$$\int_I H \varphi' = -\int_I g\varphi \quad \forall \varphi\in C^\infty_0 (-1,1)$$

を満たす $g\in L^p(-1,1)$ が存在しないことの証明

存在したと仮定すると

$$\int_I H\varphi' = \int_0^1 \varphi' = \varphi(1)-\varphi(0)=-\varphi(0).$$

ゆえに

$$\varphi(0)=\int_I g\varphi \quad \forall \varphi\in C^\infty_0 (-1,1).$$ (4.1)

特に

$$\int_I g \varphi=0 \quad \forall \varphi\in C^\infty_0 (-1,1) \quad\hbox{with $\varphi(0)=1$}.$$

これから

$$\forall \psi\in C^\infty_0(0,1) \quad \int_0^1g\psi=0.$$

ゆえに

$$g=0 \quad\hbox{a.e. on $]0,1[$}.$$

同様に

$$\forall \xi \in C^\infty_0(-1,0) \quad \int_{-1}^0 g\xi=0$$

から

$$g=0 \quad\hbox{a.e. on $]-1,0[$}.$$

よって

$$g=0 \quad\hbox{a.e. on $]-1,1[$}.$$

これは (4.1) に反する。

別の証明: (ただし $p\ne 1$ の場合) (4.1) に Holder の不等式を適用して、 $\forall \varphi\in C^\infty_0$ に対して

$$\vert\varphi(0)\vert\le \Vert g\Vert _{L^p} \Vert\varphi\Vert _{L^{p'}}$$

が成り立つことが分かる。ここで $p'$ は $p$ の共役指数である。

ところが

$$\varphi_n(0)=1, \Vert\varphi_n\Vert _{L^{p'}}\to 0 \quad\hbox{($n\to\infty$)}$$

なる $\{\varphi_n\}\subset C^\infty_0$ が存在するので、 これは矛盾である。 $\qedsymbol$