3.6.1 Hilbert 空間の場合

Hilbert 空間においては、 一般の Banach 空間よりは事情がシンプルである。 まずはこの場合から考えよう。

(3.3) については、 $A$ が稠密な定義域を持つ線型作用素であるという緩い仮定 (これは共役作用素を定義するのに必要だ) の下で一般化

$$Y=N(A^\ast)\oplus \overline{R(A)}$$

が成り立つ。 共役作用素の核 $N(A^\ast)$ はつねに閉部分空間であること、 $R(A)$ は無条件では閉部分空間にならないことに注意しよう。

一方 (3.4) については、 $A$ が稠密な定義域を持つ閉線型作用素であるという仮定で

$$X=N(A)\oplus \overline{R(A^\ast)}$$

が成り立つ。 $A$ が閉作用素という仮定から $N(A)$ が閉部分空間となるが、 まったくの無条件では $N(A)$ が閉部分空間であることは 保証されない^3.1。 当然 $R(A^\ast)$ も無条件では閉部分空間にならない。

ともあれ、 Hilbert 空間では、 稠密な定義域を持つ閉線型作用素が閉値域であれば、

$$Y=N(A^\ast)\oplus R(A),\quad X=N(A)\oplus R(A^\ast)$$

という有限次元空間と同じ結果が成り立つことになる。