計算の工夫 (2) $H$ による相似変換 $H^T A H$

$$\widetilde A:=H^T A H$$

を計算するには、

$$\alpha=\frac{2}{\Vert u\Vert^2},\quad p=A^T u,\quad q=A u,\quad v=\alpha u,\quad \beta=p^T v,\quad \widetilde A=A-v p^T-(q-\beta u) v^T.$$

特に $A$ が実対称行列の場合は、

$$\alpha=\frac{2}{\Vert u\Vert^2},\quad p=\alpha (A u),\quad \beta=\frac{\alpha}{2}(p,u),\quad q=p-\beta u,\quad \widetilde A=A-u q^T-q u^T.$$