3.1 Householder 変換

$\R^n$ の超平面に関する対称移動は明らかに内積を保つので直交変換である。 これを Householder 変換、鏡映変換、 または基本直交変換と呼ぶ。

超平面を $W_u=\{x\in\R^n; (x,u)=0\}$ ( $u\in\R^n\setminus\{0\}$ ) とおくと、 $W_u$ に関する対称移動を表わす行列は

$$H=H(u)=I_n-2\frac{u u^T}{\Vert u\Vert^2}.$$

この形からも、図形的な意味からも、 $H^{-1}=H^T=H$ (実直交行列かつ実対称行列) が成り立つことが分かる。