6.5.0.1 任意の $x$ に対して ${\cal K}_n(A,x)\subsetneq \R^n$ となる場合

$A$ の最小多項式 $\varphi(x)=x^r+\cdots$ の次数 $r$ が $n$ より小さい場合は、

$$A^r=\sum_{j=1}^{r}c_j A^{j-1}$$

をみたす $\{c_j\}$ が存在する。すると任意の $x\in\R^n$ に対して

$$A^r x=\sum_{j=1}^r c_j A^{j-1} x\in {\cal K}_r(A,x).$$

したがって ${\cal K}_{r+1}(A,x)={\cal K}_r(A,x)$ . ゆえに $\dim{\cal K}_n(A,x)\le r<n$ となる。 従って ${\cal K}_n(A,x)=\R^n$ をみたす $x$ は存在しない。