6.4 都合が「よい」状況下での Lanczos 法

$A$ を $n$ 次の実対称行列で、$x\in\R^n$ に対して、 「都合よく」

$${\cal K}_n(A,x)=\R^n$$

が成り立つと仮定する。前節の定理から、

$$U^T A U= \left( \begin{array}{ccccccc} \alpha_1&\beta_1 & & & ... ...1}&\beta_{n-1}\\ \bigzerol& & & & &\beta_{n-1}&\alpha_n \end{array} \right)$$

をみたす実直交行列 $U=(\Vector{u}_1 \Vector{u}_2 \cdots\ \Vector{u}_n)$ が存在する。 これから

$$A \Vector{u}_1=\alpha_1 \Vector{u}_1+\beta_1 \Vector{u}_2,$$

$$A\Vector{u}_2=\beta_1\Vector{u}_1+\alpha_2\Vector{u}_2+\beta_2\Vector{u}_3,$$

$$\quad \vdots$$

$$A\Vector{u}_i=\beta_{i-1}\Vector{u}_{i-1}+\alpha_i\Vector{u}_i+\beta_i \Vector{u}_{i+1},$$ (5)

$$\quad \vdots$$

$$A\Vector{u}_{n-1}=\beta_{n-2}\Vector{u}_{n-2}+\alpha_{n-1}\Vector{u}_{n-1}+ \beta_{n-1}\Vector{u}_{n},$$

$$A \Vector{u}_{n}=\beta_{n-1} \Vector{u}_{n-1}+\alpha_{n} \Vector{u}_{n}$$

という条件が導かれる。 また

$$\Vector{u}_1=\pm\dfrac{1}{\Vert x\Vert}x$$ (6)

である。 実は $\{\alpha_i\}$ , $\{\beta_i\}$ , $\{\Vector{u}_j\}$ は この条件 (5), (6) だけで定めることができる。

最初の式と $\Vector{u}_1$ との内積を取ると

$$\alpha_1=\Vector{u}_1^T A \Vector{u}_1.$$

$\Vector{v}_2:= A\Vector{u}_1-\alpha_1\Vector{u}_1$ とおくと、 $\beta_1\Vector{u}_2=\Vector{v}_2$ であるから、

$$\vert\beta_1\vert=\Vert\Vector{v}_2\Vert.$$

ゆえに

$$\beta_1=\pm\Vert\Vector{v}_2\Vert,\quad \Vector{u}_2:=\frac{1}{\beta_1}\Vector{v}_2=\pm\frac{1}{\Vert\Vector{v}_2\Vert} \Vector{v}_2$$   (複号同順)$$.$$

(5) の第2式と $\Vector{u}_2$ との内積を取ると、

$$\alpha_2=\Vector{u}_2^T A \Vector{u}_2.$$

$\Vector{v}_3:= A\Vector{u}_2-\beta_1\Vector{u}_1- \alpha_2\Vector{u}_2$ とおくと、 $\beta_2\Vector{u}_3=\Vector{v}_3$ であるから、

$$\vert\beta_2\vert=\Vert\Vector{v}_3\Vert.$$

ゆえに

$$\beta_2=\pm\Vert\Vector{v}_3\Vert,\quad \Vector{u}_3:=\frac{1}{\beta_2}\Vector{v}_3=\pm\frac{1}{\Vert\Vector{v}_3\Vert} \Vector{v}_3$$   (複号同順)$$.$$

以下同様にして...