6.3 Lanczos 原理

以下、まずは $m=n$ , すなわち

$${\cal K}_n=\R^n$$ (4)

の場合を考える。

証明. 仮定 ${\cal K}_n(A,x)=\R^n$ より、 $\dim{\cal K}_j(A,x)=j$ ( $j=1,2,\dots,n$ ) が成り立つので、 ${\cal K}_j\setminus{\cal K}_{j-1}$ は空でなく、 Gram-Schmidt の直交化法により $\R^n$ の正規直交基底が得られる。 また作り方から明らかに任意の $k$ に対して $\Vector{u}_k\in{\cal K}_k$ , $\dim{\cal K}_k=k$ であるから、 $\{\Vector{u}_j\}_{j=1}^k$ は ${\cal K}_k$ の基底になっている。

さて、任意の $j$ に対して、 $\Vector{u}_j\in{\cal K}_j$ であるので、 $A \Vector{u}_j\in {\cal K}_{j+1}$ であるから、 $A \Vector{u}_j$ は $\Vector{u}_1$ , $\Vector{u}_2$ , $\dots$ , $\Vector{u}_{\min\{j+1,n\}}$ の線形結合になる。 すなわち

$$A \Vector{u}_j=\sum_{k=1}^{\min\{j+1,n\}}\beta_{jk}\Vector{u}_k$$

をみたす $\beta_{jk}$ ( $k=1,2,\dots,\min\{j+1,n\}$ ) が存在する。 $k>j+1$ に対して $\beta_{jk}:=0$ とおいて、 行列 $B:=(\beta_{jk})$ を定めると、

$$A U=U B.$$

$\{\Vector{u}_j\}$ が正規直交基底であることから $U$ は実直交行列で $U^T=U^{-1}$ . これを上の等式の両辺に左からかけて $U^T A U=B$ . もしも $A$ が実対称であれば、

$$B^T=(U^T A U)^T=U^T A^T (U^T)^T=U^T A U=B.$$

すなわち $B$ も対称である。 対称な Hessenberg 行列は三重対角行列に他ならない。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$