4.2 Friedrichs の差分法

$$\frac{\rd U}{\rd t}=A \frac{\rd U}{\rd x}$$

を

$$\frac{U_{i,j+1}-\Dfrac{U_{i+1,j}+U_{i-1,j}}{2}}{\tau} = A\frac{U_{i+1,j}-U_{i-1,j}}{2h}$$

と離散化するのが Friedrichs の差分法である。

$$U=\vec U= \left( \begin{array}{c} v\\ w \end{array}\right)$$, $A= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)$ の場合に考えてみる。両辺に $\tau$ をかけて $\lambda=\tau/h$ とおくと、

$$\vec U_{i,j+1}-\frac{1}{2}(\vec U_{i+1,j}+\vec U_{i-1,j}) =\frac{1}{2}\lambda A(\vec U_{i+1,j}-\vec U_{i-1,j}),$$

ゆえに

$$\vec U_{i,j+1}= \frac{1}{2}(I+\lambda A)\vec U_{i+1,j} + \frac{1}{2}(I-\lambda A)\vec U_{i-1,j}.$$

mail protected],$G=q$/$H

$$\twovector{v_{i,j+1}}{w_{i,j+1}} =\frac{1}{2} \left( \begin{array... ...-\lambda \\ -\lambda & 1 \end{array}\right) \twovector{v_{i-1,j}}{w_{i-1,j}},$$

すなわち

$$v_{i,j+1} = \frac{1}{2} \left[ (v_{i+1,j}+v_{i-1,j})+\lambda(w_{i+1,j}-w_{i-1,j}) \right],$$

$$w_{i,j+1} = \frac{1}{2} \left[ \lambda(v_{i+1,j}-v_{i-1,j})+(w_{i+1,j}+w_{i-1,j}) \right]$$

$i=1,2,\cdots,N-1$ に対して $v_{i,j+1}$, $w_{i,j+1}$ はこの式を使っ てすぐに求められる。

$u$ について Dirichlet 境界条件

$$u(0,t)=u(1,t)=0$$   $$\mbox{($t>0$)}$$

を課してある場合を考える。まず

$$\frac{\rd u}{\rd t}(0,t)=\frac{\rd u}{\rd t}(1,t)=0$$   $$\mbox{($t>0$)}$$

であるから

$$v(0,t)=v(1,t)=0$$   $$\mbox{($t>0$)}$$

ゆえに $v_{i,j+1}$ については、

$$v_{0,j+1}=v_{N,j+1}=0$$   $$\mbox{($j=0,1,2,\cdots$)}$$

とするのが自然である。

$w_{0,j+1}$ については、まず

$$\frac{\rd w}{\rd x}(0,t)=\frac{\rd w}{\rd x}(1,t)=0$$

となることから、いわゆる仮想格子点 $x_{-1}$ を導入して、 Neumann 境界条件を中心差分近似して

$$w_{-1,j+1}=w_{1,j+1}$$

を得る。未知数が増えた分は、$i=0$ についても差分方程式、 すなわち

$$v_{0,j+1} = \frac{1}{2} \left[ (v_{1,j}+v_{-1,j})+\lambda(w_{1,j}-w_{-1,j}) \right],$$

$$w_{0,j+1} = \frac{1}{2} \left[ \lambda(v_{1,j}-v_{-1,j})+(w_{1,j}+w_{-1,j}) \right]$$

が成り立つと仮定してつじつまを合わせる。まず第一の式に $v_{0,j+1}=0$, $w_{1,j}=w_{-1,j}$ を代入して

$$v_{1,j}+v_{-1,j}=0.$$

これから $v_{-1,j}=-v_{1,j}$ となるから、 $w_{-1,j}=w_{1,j}$ と合わせて第二式に代入して

$$w_{0,j+1}= \iffalse \frac{1}{2} \left[ \lambda(v_{1,j}-v_{-1,j})+... ...[ \lambda(v_{1,j}+v_{1,j})+(w_{1,j}+w_{1,j}) \right] =\lambda v_{1,j}+w_{1,j}.$$

$w_{N,j+1}$ についても同様で、

$$v_{N,j+1}=0,$$

$$w_{N+1,j}=w_{N-1,j},$$

$$v_{N,j+1} = \frac{1}{2} \left[ (v_{N+1,j}+v_{N-1,j})+\lambda(w_{N+1,j}-w_{N-1,j}) \right],$$

$$w_{N,j+1} = \frac{1}{2} \left[ \lambda(v_{N+1,j}-v_{N-1,j})+(w_{N+1,j}+w_{N-1,j}) \right]$$

から

$$v_{N+1,j}=-v_{N-1,j},$$

さらに

$$w_{N,j+1}= \frac{1}{2} \left[ \lambda(-v_{N-1,j}-v_{N-1,j})+(w_{N-1,j}+w_{N-1,j}) \right] = -\lambda v_{N-1,j}+w_{N-1,j}.$$

$u$ を求めるには、 $\Dfrac{\rd u}{\rd t}=v$ を

$$\frac{u_{i,j+1}-\Dfrac{1}{2}(u_{i+1,j}+u_{i-1,j})}{\tau}=v_{i,j}$$   $$\mbox{($i=1,2,\cdots,N-1$)}$$

と近似して

$$u_{i,j+1}=\frac{1}{2}(u_{i+1,j}+u_{i-1,j})+\tau v_{ij}$$   $$\mbox{($i=1,2,\cdots,N-1$)}$$

とすれば良い。

まとめると、

Friedrichs の差分法による差分方程式

$$u_{i,j+1} = \frac{1}{2}(u_{i+1,j}+u_{i-1,j})+\tau v_{ij} \mbox{($i=1,2,\cdots,N-1$)} ,$$

$$v_{i,j+1} = \frac{1}{2} \left[ (v_{i+1,j}+v_{i-1,j})+\lambda(w_{i+1,j}-w_{i-1,j}) \right], \mbox{($i=1,2,\cdots,N-1$)} ,$$

$$w_{i,j+1} = \frac{1}{2} \left[ \lambda(v_{i+1,j}-v_{i-1,j})+(w_{i+1,j}+w_{i-1,j}) \right] \mbox{($i=1,2,\cdots,N-1$)} ,$$

$$u_{0,j+1} = u_{N,j+1}=0,$$

$$v_{0,j+1} = v_{N,j+1}=0,$$

$$w_{0,j+1} = \lambda v_{1,j}+w_{1,j},$$

$$w_{N,j+1} = -\lambda v_{N-1,j}+w_{N-1,j}.$$