4.1.3.2 $w$ について

次は $w$ の境界条件である。この場合は、$u$ について Neumann 境界条件

$$u_x(0,t)=\gamma(t), \quad u_x(1,t)=\delta(t)$$   $$\mbox{($t>0$)}$$

の場合は

$$w(0,t)=\gamma(t), \quad w(1,t)=\delta(t)$$   $$\mbox{($t>0$)}$$

と簡単になる。問題は $u$ について Dirichlet 境界条件

$$u(0,t)=\alpha(t), \quad u(1,t)=\beta(t)$$   $$\mbox{($t>0$)}$$

を課してある場合である。境界においても波動方程式が成り立っていると考えて、

$$\frac{\rd w}{\rd x}(0,t)=\frac{\rd^2 u}{\rd x^2}(0,t) =\frac{\rd^2 u}{\rd t^2}(0,t)=\alpha''(t)$$   $$\mbox{($t>0$)}$$$$,$$

同様にして

$$\frac{\rd w}{\rd x}(1,t)=\beta''(t)$$   $$\mbox{($t>0$)}$$

を課すことが考えられる (ほんまかいな)。