3.3.2 まとめて

問題($B$)をまとめる。

まず、$v_{i,j}$, $w_{i,j}$を求める式は、

$$\left\{\begin{array}{lll} v_{i,j+1}&=&\dsp\frac{1}{2} \{(v_{i+1,j... ...j+1}&=&v_{N-1,j}-\lambda w_{N-1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots)\\ \end{array}\right.$$

となり、ここで求めた$v_{i,j}$を用いて$u_{i,j}$を求める式は、

$$\left\{\begin{array}{lll} u_{i,j+1}&=&\dsp\frac{1}{2}(u_{i+1,j}+u... ... u_{N,j+1}&=&u_{N-1,j}+\tau v_{N,j}\qquad (j=0,1,2,\ldots) \end{array}\right.$$

となる。

もし、境界条件が、 $\dsp\frac{\rd }{\rd x}u(0,t)=0$、$u(1,t)=0$、 の時は、 問題($A$), ($B$)を組合せ、$v_{i,j}$, $w_{i,j}$を求める式は、

$$\left\{\begin{array}{lll} v_{i,j+1}&=&\dsp\frac{1}{2} \{(v_{i+1,j... ...1}&=&-\lambda v_{N-1,j}+w_{N-1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots)\\ \end{array}\right .$$

$u_{i,j}$を求める式は、

$$\left\{\begin{array}{lll} u_{i,j+1}&=&\dsp\frac{1}{2}(u_{i+1,j}+u... ...,2,\ldots)\\ u_{N,j}&=&0\qquad\qquad\qquad(j=0,1,2,\ldots) \end{array}\right.$$

となる。