3.3.1 Neumann境界条件での解法

次に、Neumann境界条件で考察する。 $0\le x\le 1$, $t\ge 0$ で定義された$u=u(x,t)$ に対する波動方程式

$$\frac{\rd^2 u}{\rd t^2}=\frac{\rd^2 u}{\rd x^2}$$   $$\mbox{($0<x<1$, $t>0$)}$$

を初期条件

$$\left. \begin{array}{l} u(x,0)=\varphi(x)\\ \dsp\frac{\rd u}{\rd t}=\psi(x) \end{array}\right\}\qquad (0\le x\le 1)$$

で Neumann 境界条件

$$\frac{\rd }{\rd x}u(0,t)=0, \quad \frac{\rd }{\rd x}u(1,t)=0\qquad (t>0)$$

の下で解く。この問題を($B$)とする。

Dirichlet 境界条件の時と同様に、$v$, $w$を用いて次の初期 値境界値問題($4$)を導く。

$$\left\{\begin{array}{lll} \dsp\frac{\rd }{\rd t}\left(\begin{arra... ...{\rd x}v(0,t)&=&\dsp\frac{\rd }{\rd x}v(1,t)=0\qquad (t>0). \end{array}\right .$$ (3.4)

($★$)の式を、フリードリクス（Friedrichs）の差分法を採用して離散化し、 Dirichlet 境界条件の時と同様に、$\tau$, $\lambda$ を用い、成分で書くと、

$$v_{i,j+1} = \frac{1}{2}\{(v_{i+1,j}+v_{i-1,j})+\lambda(w_{i+1,j}-w_{i-1,j})\}$$ (3.5)

$$w_{i,j+1} = \frac{1}{2}\{\lambda(v_{i+1,j}-v_{i-1,j})+(w_{i+1,j}+w_{i-1,j})\} \qquad(0<i<N,\ \ j=0,1,2,\ldots).$$ (3.6)

となる。初期条件、境界条件については次のように行なう。

$$v_{i,0} = \psi(ih)\qquad( 0\le i\le N)$$

$$w_{i,0} = \varphi'(ih)\qquad( 0\le i\le N)$$

$$w_{0,j} = w_{N,j}=0\qquad(j=1,2,\ldots).$$

ここで、$v_{0,j+1}$ ( $j=0,1,2,\ldots$) について考察する。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}v(0,t)=\dsp\frac{\rd^2 }{\rd x \rd t}u(0,t)= \dsp\frac{\rd^2 }{\rd t \rd x}u(0,t)=\dsp\frac{\rd }{\rd t}w(0,t)=0$$

なので、仮想格子点 $x_{-1}$を導入し $\dsp\frac{\rd }{\rd x}v(0,t_{j})$を中心差分商で近似する。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}v(0,t_{j})≒\frac{v_{1,j}-v_{-1,j}}{2h}=0$$

より,

$$v_{-1,j}=v_{1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots)$$

そこで、($5$), ($6$)の式に $i=0$で用いると

$$v_{0,j+1}=\frac{1}{2}\{(v_{1,j}+v_{-1,j})+\lambda(w_{1,j}-w_{-1,j})\}$$

$$w_{0,j+1}=\frac{1}{2}\{\lambda(v_{1,j}-v_{-1,j})+(w_{1,j}+w_{-1,j})\}$$

$$\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

上の式に $v_{-1,j}=v_{1,j}$、 $w_{0,j+1}=0$を代入すると、

$$0=\frac{1}{2}\{\lambda$$・$$0+(w_{-1,j}+w_{1,j})\}$$

より、

$$w_{-1,j}=-w_{1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

ゆえに、

$$v_{0,j+1}=\frac{1}{2}\{(v_{1,j}+v_{-1,j})+\lambda(w_{1,j}-w_{-1,j})\}= v_{1,j}+\lambda w_{1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

同様に $v_{N,j+1}$ ( $j=0,1,2,\ldots$)についても行なう。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}v(1,t)=\dsp\frac{\rd^2 }{\rd x \rd t}u(1,t)= \dsp\frac{\rd^2 }{\rd t \rd x}u(1,t)=\dsp\frac{\rd }{\rd t}w(1,t)=0$$

なので、仮想格子点 $x_{N+1}$を導入し $\dsp\frac{\rd }{\rd x}v(1,t_{j})$を中心差分商で近似する。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}v(1,t_{j})≒\frac{v_{N+1,j}-v_{N-1,j}}{2h}=0$$

より,

$$v_{N-1,j}=v_{N+1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

そこで、($5$), ($6$)の式に $i=N$で用いると

$$v_{N,j+1}=\frac{1}{2}\{(v_{N+1,j}+v_{N-1,j})+\lambda(w_{N+1,j}-w_{N-1,j})\}$$

$$w_{N,j+1}=\frac{1}{2}\{\lambda(v_{N+1,j}-v_{N-1,j})+(w_{N+1,j}+w_{N-1,j})\}$$

$$\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

上の式に $v_{N-1,j}=v_{N+1,j}$、 $w_{N,j+1}=0$を代入すると、

$$0=\frac{1}{2}\{\lambda$$・$$0+(v_{N+1,j}+v_{N-1,j})\}$$

より、

$$w_{N+1,j}=-w_{N-1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

ゆえに、

$$v_{N,j+1}=\frac{1}{2}\{(v_{N+1,j}+v_{N-1,j})+\lambda(w_{N+1,j}-w_{N-1,j})\}= v_{N-1,j}-\lambda w_{N-1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots)$$

と表せる。

($4$)の問題で求めたのは、$v_{i,j}$, $w_{i,j}$ ( $0\le i\le N$, $j=0,1,2,\ldots$) である。 そこで問題($B$)で求めたい解を $u_{i,j}$ ( $0\le i\le N$, $j=0,1,2,\ldots$) とすると、$u_{i,j}$ は、次の式

$$u_{i,j+1} = \frac{1}{2}(u_{i+1,j}+u_{i-1,j})+\tau v_{i,j} \qquad( \mbox{$0< i<N$, $j=0,1,2,\ldots$} )$$ (3.7)

$$u_{i,0} = \varphi(ih)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (0\le i\le N)$$ (3.8)

と、境界条件で求まる。境界条件は、次のようにする。

$$\frac{\rd }{\rd x}u(x,t) = w(x,t)$$

だから、仮想格子点 $x_{-1}$、を導入し、 $\dsp\frac{\rd }{\rd x}u(0,t_{j})$を中心差分商で近似する。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}u(0,t_{j})≒\frac{u_{1,j}-u_{-1,j}}{2h}=w_{0,j}=0$$

より,

$$u_{-1,j}=u_{1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

($7$)の式を、$i=0$で用いて、

$$u_{0,j+1}=\frac{1}{2}(u_{1,j}+u_{-1,j})+\tau v_{0,j}= u_{1,j}+\tau v_{0,j}\qquad (j=0,1,2,\ldots)$$

同様に仮想格子点 $x_{N+1}$を導入し、 $\dsp\frac{\rd }{\rd x}u(1,t_{j})$を中心差分商で近似する。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}u(1,t_{j})≒\frac{u_{N+1,j}-u_{N-1,j}}{2h}=w_{N,j}=0$$

より,

$$u_{N+1,j}=u_{N-1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

($7$)の式を、$i=N$で用いて、

$$u_{N,j+1}=\frac{1}{2}(u_{N+1,j}+u_{N-1,j})+\tau v_{N,j}= u_{N-1,j}+\tau v_{N,j}\qquad (j=0,1,2,\ldots).$$