2.3.7 差分解の厳密解への収束

さて、

$$\sum_{n=1}^\infty \vert f_n\vert\DefEq M_f <\infty,\quad \sum_{n=1}^\infty \vert g_n\vert\DefEq M_g <\infty.$$

を仮定する。 すると $\forall \eps>0$ に対して、十分大きな $N\in\N$ を取ると

$$\sum_{n=N+1}^\infty\vert f_n\vert<\eps, \quad \sum_{n=N+1}^\infty\vert g_n\vert<\eps.$$

$$\left\vert u(x,t)-v(x,t)\right\vert = \left\vert \sum_{n=1}^\infty \sin n\pi x \left(f_n \cos n\pi t+g_... ...t(f_n \cos\beta_n t+g_n \frac{k\sin\beta_n t}{\sin\beta_n k}\right) \right\vert$$

$$\le \sum_{n=1}^\infty \left(\vert f_n\vert\left\vert\cos n\pi t-\cos\... ...ac{\sin n\pi t}{n\pi}-\frac{k\sin\beta_n t}{\sin \beta_n k} \right\vert \right)$$

$$\le \sum_{n=1}^N (\vert f_n\vert\left\vert\cos n\pi t-\cos\beta_n t\r... ...ert\frac{\sin n\pi t}{n\pi}-\frac{k\sin\beta_n t}{\sin \beta_n k} \right\vert )$$

$$+\sum_{n>N} \vert f_n\vert(\vert\cos n\pi t\vert+\vert\cos\beta_n... ...right\vert +\left\vert\frac{k\sin \beta_n t}{\sin \beta_n k}\right\vert \right)$$

$$\le \sup_{1\le n\le N\atop \vert t\vert\le T}\vert\cos n\pi t-\cos\be... ...pi}-\frac{k\sin\beta_n t}{\sin\beta_n k} \right\vert\sum_{n=1}^N \vert g_n\vert$$

$$+\sum_{n>N} \vert f_n\vert(\vert\cos n\pi t\vert+\vert\cos\beta_n... ...right\vert +\left\vert\frac{k\sin \beta_n t}{\sin \beta_n k}\right\vert \right)$$

$$\le M_f \sup_{1\le n\le N\atop \vert t\vert\le T}\vert\cos n\pi t-\co... ...t\vert\frac{\sin n\pi t}{n\pi}-\frac{k\sin\beta_n t}{\sin\beta_n k} \right\vert$$

$$+\left(2+\frac{1}{\pi}+T\right)\eps$$

$h$ を十分小さくすれば第1項, 第2項の和は $\eps$ で押さえられる。

$$\vert u(x,t)-v(x,t)\vert\le \eps+\left(2+\frac{1}{\pi}+T\right)\eps \le \left(3+\frac{1}{\pi}+T\right)\eps. \qed$$