1.2 準備 -- 抽象形

$K$ を $\R$ または $\C$ を表すものとする。 $A\in M(m,n;K)$ とする。 もちろん $A^\ast\in M(n,m;K)$ であり、 $A^{\ast\ast}:=(A^\ast)^\ast=A$ である。

$$f(x)=A x$$   $$\mbox{($x\in K^n$)}$$$$, \quad f^\ast(y)=A^\ast y$$   $$\mbox{($y\in K^m$)}$$

によって、 $f\colon K^n\to K^m$ , $f^\ast\colon K^m\to K^n$ という写像が定まる。で定める。

証明

$$(A x,y)_{K^m}=y^\ast(A x)=(y^\ast A)x=(A^\ast y)^\ast x =(x,A^\ast y)=(x,A^\ast y)_{K^n}. \qed$$

逆にこの性質で $A^\ast$ を特徴づけることもできる。すなわち $A\in M(m,n;K)$ , $B\in M(n,m;K)$ に対して、

$$\forall x\in K^n\quad \forall y\in K^m\quad (A x,y)_{K^m}=(x,B y)_{K^n} \quad \Then \quad B=A^\ast.$$

証明

$x\in K^n$ とするとき、

$$x\in N(A) \Iff A x=0 \quad\Iff\quad \forall y\in K^m \quad (A x,y)_{K^m}=0 \quad\Iff\quad \forall y\in K^m\quad (x,A^\ast y)_{K^n}=0$$

$$\Iff \forall z\in R(A^\ast)\quad (x,z)_{K^n}=0 \quad\Iff\quad x\in R(A^\ast)^\perp. \qed$$

証明

$A^{\ast\ast}=A$ に注意すればよい。 $\qedsymbol$

線形代数の常識^1.1

$$\rank A=\rank A^T=\rank A^\ast$$

は $\dim R(A)=\dim R(A^\ast)$ を意味しているので、 次の命題を得る。