7.4 Lebesgue 空間の双対空間

$\R^n$ 内の可測集合 $\Omega$ , $p\in[1,\infty]$ に 対して Lebesgue 空間 $L^p(\Omega)$ を考える。 以下 $\Omega$ は固定するので、 $L^p(\Omega)$ のことを単に $L^p$ と書く。

よくある習慣にのっとり、 $p\in[1,\infty]$ に対して、 $p'$ を共役指数とする。 すなわち $1<p<\infty$ ならば $p'$ は $1/p+1/p'=1$ となる数、 $p=1$ ならば $p'=\infty$ , $p=\infty$ ならば $p'=1$ .

任意の $p\in[1,\infty]$ , $g\in L^{p'}$ に対して、

$$J_g\colon L^p\ni f\mapsto \int_\Omega f(x)\overline{g(x)}\Dx\in \C$$

とおくと、 $J_g\in (L^{p})'$ である。これは Hölder の不等式

$$\Vert f g\Vert _{L^1}\le \Vert f\Vert _{L^p} \Vert g\Vert _{L^{p'}}$$   $$\mbox{($f\in L^p$, $g\in L^{p'}$)}$$

から分かる。

こうして

$$J\colon L^{p'}\ni g\mapsto J_g\in (L^p)'$$

という写像が定義されるが、これは等距離写像である。すなわち

$$\Vert J(g)\Vert _{(L^p)'}=\Vert J_g\Vert _{(L^p)'}=\Vert g\Vert _{L^{p'}}$$   $$\mbox{($g\in L^{p'}$)}$$$$.$$

実は $p\in [1,\infty)$ の場合、この写像 $J\colon L^{p'}\to (L^p)'$ は 全射 (従って Banach 空間の同型写像) であることが、 次の Riesz の表現定理から保証される。

この事実を $J$ を省略して単に $(L^p)'=L^{p'}$ ( $1\le p<\infty$ ) と書 くことが多い。

$p=\infty$ のときは $J$ は全射にはならない。すなわち

$$J(L^1)\subsetneqq (L^\infty)',$$   $$\mbox{$J$\ を省略して書くと}$$$$\quad L^1\subsetneqq (L^\infty)'.$$

$L^1$ は Banach 空間であり、$J$ は等長であるから、 $J(L^1)$ は $(L^\infty)'$ の閉部分空間である (特に $J(L^1)$ は $(L^\infty)'$ で稠密ではない)。 だから $(L^\infty)'$ は $L^1$ よりもかなり大きい (感覚的な話)。