6.1 数直線上の Hilbert 変換

$\R$ 上定義された関数 $f$ に対して、

$$H f(y):=\frac{1}{\pi}\int_\R \frac{f(x)}{x-y}\Dx$$ (6.1)

で定義される関数 $H f$ を $f$ の Hilbert 変換という。 ただし積分は主値を取るものとする。すなわち

$$\int_\R \frac{f(x)}{x-y}\Dx =\lim_{\delta\to +0}\int_{\vert x-y\vert\ge \delta}\frac{f(x)}{x-y}\Dx.$$ (6.2)

もしも $f\in L^2(\R)$ ならば、 (6.1) の積分はほとんどいたるところ収束し、 $H f\in L^2(\R)$ で、

$$\Vert f\Vert _{L^2(\R)}=\Vert H f\Vert _{L^2(\R)}.$$ (6.3)

また

$$H(H f)= -f.$$ (6.4)