B..1.0.2 (2) の証明

$f(x)=0$ の解 $x_j$ において考える。Strum 列の条件 (4) は $f'(x_j)$ と $f_1(x_j)$ が同符号であることを示している。例えば $f'(x_j)>0$ の場合、 十分小さな $\eps>0$ を取ると、

• $f(x)<0$ ( $x\in [x_j-\eps,x_j)$ ), $f(x_j)=0$ , $f(x)>0$ ( $x\in(x_j,x_j+\eps]$ ).
• $f_1(x)>0$ ( $x\in (x_j-\eps,x_j+\eps)$ ).

これから

$$n_{j+1}-n_j=N(x_j+0)-N(x_j-0)=-1$$

であることが分かる。$f'(x_j)<0$ の場合も同様の議論で $n_{j+1}-n_j=-1$ であることが分かる。$\qedsymbol$