B..1 スツルムの定理

この定理によって、区間 $[a,b]$ 内に存在する $f(x)=0$ の解を数を知るこ とができるが、二分探索の技法と組み合わせることで、解が存在する区間を好き なだけ小さくすることが出来、その区間内の適当な点を解の近似値として採用す るという近似解法ができる。これをStrum の方法と呼ぶ。

証明. $f(x)=0$ の解の個数は有限個である。そのうち $[a,b]$ に含まれるものを大き さの順に並べて

$$x_1<x_2<\cdots<x_{n}$$

とする。$n+1$ 個の区間

$$I_0=[a,x_1),\quad I_1=(x_1,x_2), \quad I_2=(x_2,x_3), \quad I_{n-1}=(x_{n-1},x_n), \quad I_n=(x_n,b]$$

の和集合において ($f(x)$ は 0 とならないので) $N(x)$ が定義できる。 以下では

(1)

各区間 $I_j$ において $N(x)$ は定数である:

$$\exists \{n_j\}_{j=0}^{n}$$   s.t.$$\quad N(x)=n_j$$   $$\mbox{($x\in I_j$, $j=0,1,\cdots,n$)}$$

(2)

$n_{j+1}-n_j=-1$ ( $j=0,1,\cdots,n-1$ )

であることを証明する (この二つから容易に $N(a)-N(b)=n$ が導かれる)。

$\qedsymbol$