4.1.0.1 符号の変化数

$\{p_i(\lambda)\}_{i=0}^N$ を Strum 列とするとき、 $p_N(x)\ne 0$ なる $x$ に対して

$$N(x)\Def$$$$\mbox{\lq\lq $\{p_0(x), p_1(x), \cdots, p_N(x)\}$'' の \textbf{符号の変化数}}$$

とおく。例えば

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\... ...p_7(x)& p_8(x)&p_9(x)&p_{10}(x) \\ \hline +&-&-&-&0&+&+&+&+&-&- \end{array}$$

では $N(x)=3$ .

この符号の変化数は (特別な注意をせずに) 数値的に安定して計算できる。つ まり絶対値が非常に小さくて、符号の判別がつきにくい場合も、「符号の変化数」 そのものは疑いがなく計算できる。例えば

$p_{k-1}(x)$	$p_{k}(x)$	$p_{k+1}(x)$
$+$	絶対値小	$-$

    または     

$p_{k-1}(x)$	$p_{k}(x)$	$p_{k+1}(x)$
$-$	絶対値小	$+$

において $p_{k}(x)$ が正であっても負であっても 0 であっても符号の変化 数の計算にとっては影響がない。注意すべきは Strum 列の条件 (iv) から

$p_{k-1}(x)$	$p_{k}(x)$	$p_{k+1}(x)$
$+$	絶対値小	$+$

    または     

$p_{k-1}(x)$	$p_{k}(x)$	$p_{k+1}(x)$
$-$	絶対値小	$-$

のような場合 (もしこうなったら符号の変化数の計算がむつかしい) が起こり得 ないことである。

Strum の定理によって、 $p_N(a) p_N(b)\ne 0$ なる $[a,b]$ におい て、$[a,b]$ 内の零点の個数は $N(a)-N(b)$ であることが分かる。