11.3.0.2 定理 11.2 の証明

$A$ を $n$ 次実対称行列とする。

$${\cal P} :=\left\{V; \text{$V$ は $\R^n$ の部分空間}, \forall x\in V\setminus\{0\}\quad (Ax,x)>0\right\},$$

$${\cal N} :=\left\{V; \text{$V$ は $\R^n$ の部分空間}, \forall x\in V\setminus\{0\}\quad (Ax,x)<0\right\},$$

$${\cal Z} :=\left\{V; \text{$V$ は $\R^n$ の部分空間}, \forall x\in V\setminus\{0\}\quad (Ax,x)=0\right\}$$

とおく。 $\{0\}\in{\cal P}$ , ${\cal N}$ , ${\cal Z}$ であるから、 ${\cal P},{\cal N}, {\cal Z}\ne\emptyset$ .

$$N_p:=\max\{\dim V; V\in{\cal P}\},\quad N_n:=\max\{\dim V; V\in{\cal N}\},\quad N_z:=\max\{\dim V; V\in{\cal Z}\}$$

が定まる (念のため: $\dim\{0\}=0$ である)。

主張: $N_p=\pi(A)$ , $N_n=\nu(A)$ , $N_z=\zeta(A)$ .

$A$ は実対称行列であるから、 固有ベクトルからなる正規直交基底 $v_1,\cdots,v_n$ が存在する。 $A v_j=\lambda_j v_j$ として、

$$V_p:=\mathrm{Span}\{v_j; \lambda_j>0\},\quad V_n:=\mathrm{Span}\{v_j; \lambda_j<0\},\quad V_z:=\mathrm{Span}\{v_j; \lambda_j=0\}$$

とおくと、 $V_p\in{\cal P}$ , $V_n\in{\cal N}$ , $V_z\in{\cal Z}$ . $\dim V_p=\pi(A)$ , $\dim V_n=\nu(A)$ , $\dim V_z=\zeta(A)$ であるから、 $N_p$ , $N_n$ , $N_z$ の最大性によって

$$\sharp N_p\ge \pi(A), \quad N_n\ge \nu(A), \quad N_z\ge \zeta(A).$$

さて、一般に

$$W_p\in{\cal P},\quad W_n\in{\cal N},\quad W_z\in{\cal Z} \quad\THEN\quad W_p\cap W_n=W_N\cap W_z=W_z\cap W_p=\{0\}$$

が成り立つことは容易に証明できる。 $W_p$ , $W_n$ , $W_z$ として、特に

$$\dim W_p=N_p,\quad \dim W_n=N_n,\quad \dim W_z=N_z$$

を満たすものを取って、

$$W_p\oplus W_n\oplus W_z\subset\R^n$$

において、次元を調べる。($\sharp$ ) を用いると

$$n=\pi(A)+\nu(A)+\zeta(A)\le N_p+N_n+N_z\le n.$$

左辺と右辺が一致するので、不等式はすべて等式で

$$N_p=\pi(A), \quad N_n=\nu(A), \quad N_z=\zeta(A)$$   (主張の証明終わり)$$.$$

さて、正則行列 $P$ による変換 $x=P y$ で、

$$(Ax,x)=\sum_{j=1}^n \mu_j y_j^2$$

になったとする。簡単のために順番を修正して、 最初の $p$ 個は正，次の $q$ 個は負、残りは 0 , と出来る。つまり

$$(Ax,x)=\alpha_1 y_1^2+\cdots+\alpha_p y_p^2 -\alpha_{p+1} y_{p+1}^2-\cdots-\alpha_{p+q} y_{p+q}^2,\quad \alpha_j>0$$   ( $1\le j\le p+q$ )

として良い。

(a)

$p$ 次元空間 $\{P y; y_{p+1}=\cdots=y_n=0\}$ では $(Ax,x)>0$ になるので、 $p\le\pi(A)$ .

(b)

$q$ 次元空間 $\{P y; y_1=\cdots=y_{p}=y_{p+q+1}=\cdots= y_n=0\}$ では $(Ax,x)<0$ になるので、 $q\le\nu(A)$ .

(c)

$n-(p+q)$ 次元空間 $\{S y; y_1=\cdots=y_{p+q} =0\}$ では $(Ax,x)=0$ になるので、 $n-(p+q)\le\zeta(A)$ .

(c) から $p+q+\zeta(A)\ge n$ であるが、 (a) から $\pi(A)\ge p$ , (b) から $\nu(A)\ge q$ であるから、

$$n=\pi(A)+\nu(A)+\zeta(A)\ge p+q+\zeta(A)\ge n.$$

両端が等しいので、途中はすべて等式で $p=\pi(A)$ , $q=\nu(A)$ . $\qedsymbol$

定理 11.3 の直接的な証明が見たければ、 杉原・室田 [8] を見よ (もちろん前項の議論から、間接的には証明は済んでいる)。