11.1 本題に入る前に

自分自身が最初のうち景色が見えなかったので、色々書いてみる。

Sylvester の慣性律とは、 2次形式を平方完成したときの係数の符号が、 平方完成のやり方 (それはたくさんある) によらずに決まる、 という事実を定式化したものである。

平方完成のことを「2次形式の対角化」ともいう。 それは議論を行列の言葉で書くことが出来て、 与えられた対称行列 (2次形式の係数行列) $A$ に対して、 適当な正則行列 $P$ を見つけて、 $P^T A P$ を対角行列にする操作に相当しているからである。

この変換 $A\mapsto P^T A P$ は、 相似変換 $A\mapsto P^{-1}A P$ と似ているが、 一応は別物であることに注意する (前者は正則な線形変数変換によるもので、 後者は基底の取り替えによるものである)。 ややこしいのは、対称行列の固有値問題では、 直交行列 ( $P^T=P^{-1}$ を満たす行列) で対角化するため、 両者が重なってしまうことである (個人的にはかなり混乱したところ)。

何に使われるかについても、あらかじめ、少しは知っておいた方が良いかもしれない。

大学1,2年次に遭遇する適用例としては、 多変数関数の極値問題を微分法で扱う際に、2階までの Taylor 展開をしたとき、 2次の項が2次形式になっている、というのがある (大抵の微積のテキストには書いてあるが、例えば桂田 [4])。 $f$ が $n$ 変数関数で、内点 $a$ で極値を取るには、 $f'(a)=0$ が必要で、そのとき

$$f(a+h)=f(a)+$$$h$ の2次形式$$+O(\left\Vert h\right\Vert^2)$$   ($h\to 0$ )$$.$$

そこで2次形式の符号に興味が出て来るわけである。 どういう場合があって、どうやれば判定できるか。 他にも Morse の Lemma などで、 関数の「様子」を理解するために使われる。

数値線形代数においては、固有値を求めるための2分法というアルゴリズムが、 Sylvester の慣性律で理解出来る、という応用もある。

もう少し式を使って具体的な話として書いてみる。

「2次形式の対角化」は、次の二つの同値な問題である。

(a)

(平方完成) 2次形式 $A[x]=\dsp\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j$ が与えられたとき、

$$A[x]=\sum_{j=1}^p \alpha_j y_j^2-\sum_{k=1}^q\alpha_{p+k}y_{p+k}^2$$   (ここで $\alpha_j>0$ )

となる正則線形変換 $x=P y$ を求める問題

(b)

(行列の「対角化」) 実対称行列 $A$ が与えられたとき、

$$P^T A P=D,$$

$$D:=\diag(\alpha_1,\cdots,\alpha_p, -\alpha_{p+1},\cdots,-\alpha_{p+q},0,\cdots,0) \alpha_j>0$$

を満たす正則行列 $P$ を求める問題

$p$ , $q$ は $P$ によらず $A$ だけで定まる。さらに実は $p+q=\rank A$ である。

$P$ として一般の正則変換を許せば (つまり $P\in GL(n;\R)$ )、 $\alpha_j=1$ ( $j=1,\cdots,p+q$ ) と出来る。

$P$ として直交変換に限っても対角化は可能で (もちろん $p$ , $q$ も変わらない)、そのときは $D$ の対角成分 $\alpha_1$ , $\cdots$ , $\alpha_p$ , $-\alpha_{p+1}$ , $\cdots$ , $-\alpha_{p+q}$ , 0 , $\cdots$ , 0 は $A$ の固有値である。

三角行列の積の形に分解する話との関係。

• もしも $\delta_k:=\det A_k\ne 0$ ( $k=1,\cdots,n$ ) ならば、 $L:=P^{-T}$ ( $:=(P^{-1})^T$ ) は単位下三角行列に取れて、
  $$A=L D L^T$$
  となる ($A$ の $\mathrm{LDL}^T$ 分解)。 $L$ は例えば Gauss の消去法などのアルゴリズムで計算出来る。
• (さらに) もしも $\delta_k>0$ ( $k=1,\cdots,n$ ) ならば、$\sqrt{D}$ が意味を持つので、 $L\sqrt{D}$ を新たに $L$ と置き直すことで
  $$A=L L^T$$
  となる ($A$ のCholesky分解)。

$\det A_k\ne 0$ ( $k=1,\cdots,n$ ) でない場合にどうするかについて 述べてみよう。 その後で何をしたいかによってやることが異なる、と理解すべきである。

連立1次方程式 $A x=b$ を解くために $A$ を何らかの意味で分解するのが 目的ならば、 適当な置換行列 $P$ (上の議論と文字がかぶるけど大目に見て下さい) と、単位下三角行列 $L$ が取れて

$$P A=L D L^T$$

となる、というのが一つの目標となるだろう。

行列の符号の判別をしたい場合は、

(i)

$A$ が正値であるためには、ピボッティングなしの Gauss の消去法で 対角線から下を消去できて、対角成分がすべて正数になることが必要十分。

(ii)

$A$ が負値であるためには、ピボッティングなしの Gauss の消去法で 対角線から下を消去できて、対角成分がすべて負数になることが必要十分。

(iii)

$A$ が正値でも負値でもなく、さらに行列式が 0 でないならば、 $A$ は不定符号であるが、これは逆は成り立たない。

(iv)

一般の場合に $A$ の符号数 $(p,q)$ を求めるには、少し工夫が必要である。 伊理 [11] または [3] を見よ。