4.5 各方法の比較 (1) 素朴にやってみよう…

文献に書いてあることを理解して要約すべきだと思うが… MATLAB 時代の良いことは試すことは簡単にできるということだ。

compare.m

   1 function compare(n)
   2   a=rand(n,n);
   3 %% qr()
   4   fprintf('MATLAB の qr()\n');
   5   tic
   6   [q0 r0]=qr(a);
   7   toc
   8   fprintf('||Q R-A||=%e\n\n', norm(q0*r0-a));
   9 %%
  10   fprintf('普通の Gram-Schmidt\n');
  11   tic
  12   [q1 r1]=GramSchmidt(a);
  13   toc
  14   fprintf('MATLABの関数の結果との差: %e %e\n', norm(q1-q0), norm(r1-r0));
  15   fprintf('||Q R-A||=%e\n\n', norm(q1*r1-a));
  16 %%
  17   fprintf('修正 Gram-Schmidt\n');
  18   tic
  19   [q2 r2]=ModifiedGramSchmidt(a);
  20   toc
  21   fprintf('MATLABの関数の結果との差: %e %e\n', norm(q2-q0), norm(r2-r0));
  22   fprintf('||Q R-A||=%e\n\n', norm(q2*r2-a));
  23 %%
  24   fprintf('Givens 変換による QR 分解\n');
  25   tic
  26   [q3 r3]=QR_Givens(a);
  27   toc
  28   fprintf('MATLABの関数の結果との差: %e %e\n', norm(q3-q0), norm(r3-r0));
  29   fprintf('||Q R-A||=%e\n\n', norm(q3*r3-a));
  30 %%
  31   fprintf('Householde 変換による QR 分解\n');
  32   tic
  33   [q4 r4]=qrhouse(a);
  34   toc
  35   fprintf('MATLABの関数の結果との差: %e %e\n', norm(q4-q0), norm(r4-r0));
  36   fprintf('||Q R-A||=%e\n\n', norm(q4*r4-a));

ここでは手抜きをして、 誤差と言うよりも残差を計算している。 そのうち誤差を計算できるようにしてみたいが、 分解の一意性がないのでこまったな…

$n$	qr()	Gram-Schmidt	���� Gram-Schmidt	Givens	Householder
$10$	$2.65\times10^{-15}$	$3.40\times10^{-16}$	$3.36\times10^{-16}$	$1.50\times10^{-15}$	$3.19\times10^{-15}$
$20$	$5.46\times10^{-15}$	$9.26\times10^{-16}$	$8.84\times10^{-16}$	$3.85\times10^{-15}$	$4.13\times10^{-15}$
$40$	$1.10\times10^{-14}$	$1.69\times10^{-15}$	$1.73\times10^{-15}$	$1.32\times10^{-14}$	$1.41\times10^{-14}$
$80$	$1.65\times10^{-14}$	$3.30\times10^{-15}$	$3.20\times10^{-15}$	$2.63\times10^{-14}$	$1.77\times10^{-14}$
$160$	$4.10\times10^{-14}$	$6.75\times10^{-15}$	$6.37\times10^{-15}$	$8.32\times10^{-14}$	$1.18\times10^{-13}$
$320$	$1.66\times10^{-13}$	$1.34\times10^{-14}$	$1.34\times10^{-14}$	$??\times10^{-14}$	$??\times10^{-13}$

少なくともこの実験結果だけからは、 Gram-Schmidt の直交化法、修正 Gram-Schmidt の直交化法による結果は 他の方法による結果よりも精度が良さそうである。 MATLAB の qr() による結果はそれよりも悪い。 MATLAB の qr() による結果は Householder 法による結果に近い。

Gram-Schmidt の直交化法と 修正 Gram-Schmidt の直交化法による結果の差は少ない。 その二つの差よりも、 Givens 変換や Householder 変換を用いた方法との差の方がずっと大きい。 普通の Gram-Schmidt の直交化法ではうまく解けないような条件の悪い問題を作って、 それについて実験しないといけないのか？ 考え込まされる結果である。