計算の工夫 (1) $G^T$ を与えられた行列 $A$ にかける

$$B:= G(p,q,\theta)^T A$$

は $p$ , $q$ 行目を除き $A$ と変わらない。変更される行については、

$$b_{pj}=a_{pj}\cos\theta-a_{qj}\sin\theta \mbox{($j=1,2,\cdots,n$)} ,$$

$$b_{qj}=a_{pj}\sin\theta+a_{qj}\cos\theta \mbox{($j=1,2,\cdots,n$)} .$$

$\theta$ を

$$\cos\theta=\frac{a_{qr}}{\sqrt{{a_{pr}}^2+{a_{qr}}^2}},\quad \sin\theta=\frac{a_{pr}}{\sqrt{{a_{pr}}^2+{a_{qr}}^2}}$$

を満たすように取れば、$b_{pr}=0$ となる。