6.8 レムニスケート (lemniscate)

レムニスケート (lemniscate, 連珠形, 花輪を飾るリボンの輪)

$$r^2=a^2\cos 2\theta$$   $$\mbox{($\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$)}$$

$$(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$$

図 12: ImplicitPlot[(x^2 + y^2) ^2 - 2(x^2 - y^2) == 0, {x, -1.5, 1.5}, {y, -1, 1}]

$a=\sqrt{2}$ の場合、2点 $(\pm1,0)$ からの距離の積が $1$ となる点の軌跡 である。

原点からの弧長は

$$u= \int_0^\theta \sqrt{r^2+(r')^2} \D\theta =\sqrt{2}\int_0^\theta \frac{\D\theta}{\sqrt{2\cos2\theta}} =\sqrt{2}\int_0^x\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}$$   $$\mbox{($x=\tan\theta$)}$$$$.$$

Gauss は逆関数 $x=s(u)$ を考察して、その加法定理を発見した (Gauss によ る楕円関数の発見)。 彼はレムニスケイトの弧を 5 等分することが定規とコンパスで作図できること を見い出した。

杉浦 [#!____2!#], 高木 [#!____!#] を見よ。