2.2.3 形式解が well-defined であり、厳密解に収束すること

(準備中 -- とりあえず、引用した。)

差分解 $v(x,t)$ が厳密解 $u(x,t)$ に収束することを証明する。

$$u(x,t) =\frac{1}{\sqrt 2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i\alpha x} ... ...t\hat{f}(\alpha) +k\frac{\sin \alpha t}{\alpha}\hat{g}(\alpha) \right)d\alpha.$$

いま、 $\dsp\int \vert\hat{f}\vert\D\alpha$ と $\dsp\int \vert\hat{g}\vert\D\alpha$ は収束するので、十分大きな $A$ を選んで、

$$\left\vert\int_A^{\infty} e^{i\alpha x} \left( \cos \beta t\hat{f... ...in \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha) \right)d\alpha \right\vert \leq \eps,$$

$$\left\vert \int_{-\infty}^{-A} e^{i\alpha x} \left( \cos \beta t\... ...in \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha) \right)\D\alpha \right\vert \leq \eps$$

が成り立つようにできる。 その上で、$h$, $k$ を小さくとり、

$$\left\vert \int_{-A}^A e^{i\alpha x}\left(\cos\alpha t\hat{f}(\al... ...\sin \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha) \right)\D\alpha \right\vert\leq\eps$$

とできる。 補題1.1, 1.2, 1.3 と以上の事より、

$${\vert u(x,t)-v(x,t)\vert}$$

$$= \left\vert\int_{-\infty}^\infty e^{i\alpha x} \left(\cos \alpha... ... +k\frac{\sin \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha) \right)\D\alpha \right\vert$$

$$\leq \left\vert \int_{-\infty}^{-A} e^{i\alpha x} \left(\cos \alp... ...lpha) +k\frac{\sin \alpha t}{\alpha}\hat{g}(\alpha) \right)\D\alpha \right\vert$$

$$+ \left\vert \int_A^{\infty} e^{i\alpha x} \left( \cos \alpha t\h... ... +k\frac{\sin \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha) \right)\D\alpha \right\vert$$

$$+ \left\vert \int_{-A}^Ae^{i\alpha x} \left(\cos \beta t\hat{f}(\... ...) +k\frac{\sin \beta t}{\sin\beta k}\hat{g}(\alpha) \right)\D\alpha \right\vert$$

$$\leq 5\eps.$$

よって、差分解が厳密解に収束することが証明できた。