2.2.1 $e^{i\alpha x}$ が固有関数であること

$x$ についての差分に関しても $e^{i\alpha x}$ は固有関数になっている。 例えば

$$\delta_x v(x)= v(x+h/2)-v(x-h/2)$$

により、一階の中心差分作用素 $\delta_x$ を定義すると、

$$\delta_x e^{i\alpha x}=e^{i\alpha(x+h/2)}-e^{i\alpha(x-h/2)} =(e^... ...\alpha h/2})e^{i\alpha x} =2i\sin\left(\frac{\alpha h}{2}\right)e^{i\alpha x}.$$

これから

$$(\delta_x)^2e^{i\alpha x} =-4\sin^2\left(\frac{\alpha h}{2}\right)e^{i\alpha x}.$$

つまり $e^{i\alpha x}$ は $(\delta _x)^2$ の固有関数でもある。 後のために

$$(\delta_x)^2 v(x)=v(x+h)-2v(x)+v(x-h)$$

であることを注意しておく。