グリーンの公式を利用する方法

グリーンの公式を用いると、 ラプラシアンは 1 階微分である $\grad$ で特徴づけることができる。 重積分の極座標への変数変換の公式、 変分法の基本補題を放り込めば問題が解決できる。 -- このやり方は結構あちこちに載っているが、それほど簡単とは言えない。 しかし、 より複雑な座標変換を用いる場合への一般化が期待できるという点に価値がある (と筆者には想像される -- 正直言うとよく知らない)。

まず $\R^3$ の極座標による $\grad$ の内積の公式を導く。

$\R^3$ の領域上定義された $u$, $v$ に対して、

$$\nabla u\cdot \nabla v = u_r v_r+\frac{1}{r^2}u_\theta v_\theta +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}u_\phi v_\phi.$$ (3)

証明. 連鎖律より

$$(u_r, u_\theta, u_\phi) =(u_x, u_y, u_z) \left( \begin{array}{ccc... ...hi \\ y_r & y_\theta & y_\phi \\ z_r & z_\theta & z_\phi \end{array}\right).$$

ここに現れるヤコビ行列を $U$ とおく。具体的には

$$U= \left( \begin{array}{ccc} x_r & x_\theta & x_\phi \\ y_r & y_... ...phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array}\right)$$

となるが、これを $(e_1, e_2, e_3)$ とおくと、$e_i$ ($i=1,2,3$) は 直交系になる:

$$e_i\cdot e_j=0$$   $$\mbox{($i\ne j$)}$$$$.$$

それゆえ、

$$U^T U=\threevector{e_1^T}{e_2^T}{e_3^T} (e_1 e_2 e_3) = \left( \b... ...egin{array}{lll} 1 & & \\ & r^2 & \\ & & r^2\sin^2\theta \end{array}\right).$$

$$\nabla u=(U^{-1})^T \threevector{u_r}{u_\theta}{u_\phi}, \quad \nabla v=(U^{-1})^T \threevector{v_r}{v_\theta}{v_\phi}$$

であるから、

$$\nabla u\cdot \nabla v =(\nabla v)^T \nabla u =\threevector{v_r}{v_\theta}{v_\phi}^T (U^{-1})^{TT} (U^{-1})^T \threevector{u_r}{u_\theta}{u_\phi}.$$

ここで

$$(U^{-1})^{TT}(U^{-1})^T =U^{-1} (U^{T})^{-1} =(U^T U)^{-1} =\left... ... \\ & \Dfrac{1}{r^2} & \\ & & \Dfrac{1}{r^2\sin^2\theta} \end{array}\right).$$

ゆえに

$$\nabla u\cdot \nabla v = \threevector{v_r}{v_\theta}{v_\phi}^T \left( \begin{array}{cc... ...2\theta} \end{array}\right) \threevector{u_r}{u_\theta}{u_\phi}$$

$$= u_r v_r+\frac{1}{r^2}u_\theta v_\theta +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}u_\phi v_\phi. \quad\qed$$

$\qedsymbol$

さて、$v$ を $v=0$ (on $\rd\Omega$) を満たす関数とすると、 Green の定理から

$$\tint_\Omega v\Laplacian u\;\DxDyDz = - \tint_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\DxDyDz.$$

$\nabla u\cdot\nabla v$ を極座標表示した式 (6) を代入して

$$\tint_\Omega v\Laplacian u\;\DxDyDz = - \tint_{\widetilde\Omega} (u_r v_r+\frac{1}{r^2}u_\theta v_\theta +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}u_\phi v_\phi) r^2\sin\theta\;\D r \D\theta \D\phi$$

$$= - \tint_{\widetilde\Omega}( r^2\sin\theta u_r v_r +\sin\theta u_\theta v_\theta +\frac{1}{\sin\theta}u_\phi v_\phi) \D r \D\theta \D\phi.$$

(ただし $\widetilde\Omega$ は、極座標で $\Omega$ に対応する領域である。)

部分積分を施し、積分変数を元に戻すと

$$\tint_\Omega v\Laplacian u\;\DxDyDz = \tint_{\widetilde\Omega} \left[ \frac{\rd}{\rd r}(r^2\sin\theta... ...\phi}\left(\frac{1}{\sin\theta}u_\phi\right) \right] v \D r \D\theta \D\phi$$

$$= \tint_\Omega\frac{1}{r^2\sin\theta}\left[ \frac{\rd}{\rd r}(r^2... ...\frac{\rd}{\rd\phi} \left(\frac{1}{\sin\theta}u_\phi\right)\right] v \DxDyDz.$$

$v$ の任意性から (変分法の基本補題から、というべきか)

$$\Laplacian u = \frac{1}{r^2\sin\theta}\left[ \frac{\rd}{\rd r}(r^... ...u_\theta) +\frac{\rd}{\rd\phi} \left(\frac{1}{\sin\theta}u_\phi\right)\right].$$

整理して

$$\Laplacian u = \frac{\rd^2 u}{\rd r^2}+\frac{2}{r}\frac{\rd u}{\r... ...ta}\right) +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\rd^2 u}{\rd\phi^2} \right]. \quad\qed$$

$\R^n$ における $\Laplacian$ の極座標表示については、

島倉紀夫, 楕円型偏微分作用素, 紀伊國屋書店 (1978)

を見ると良い。