4 Laplacian の極座標表示

$\R^2$ , $\R^3$ における Laplacian $\Laplacian$ の極座標表示を書いておく。
$\begin{jexample}[平面極座標の Laplacian] 平面の極座標 \begin{displa... ...後はこれをていねいに計算するだけである。 \qed \end{jexample}$

$\begin{jexample}[空間極座標の Laplacian] 空間の極座標 \begin{displa... ...u}{\rd\varphi^2} \right) \nonumber \end{align}となる。 \qed \end{jexample}$

証明. ヤコビ行列

$\displaystyle J:= \left( \begin{matrix} x_r & x_\theta & x_\phi \\ y_r & y_\th... ...hi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{matrix}\right)$

は、

$\displaystyle \Vector{a} :=\left( \begin{matrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\th... ...or{c} :=\left( \begin{matrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{matrix}\right)$

とおくとき、

$\displaystyle J=\left(\Vector{a}\quad r\Vector{b}\quad r\sin\theta\Vector{c}\right)$

と表される。 $\Vector{a}$ , $\Vector{b}$ , $\Vector{c}$ は $\R^3$ の正規直交基底であることに注意すると、簡単な計算で

$\displaystyle J^{-1}=\left( \begin{matrix} \Vector{a}^T \\ \dfrac{1}{r}\Vector{b}^T [2ex] \dfrac{1}{r\sin\theta}\Vector{c}^T \end{matrix}\right)$

であることが確かめられる。ゆえに

$\displaystyle \left( \begin{matrix} r_x & r_y & r_z \\ \theta_x & \theta_y & \... ...sin\phi}{r\sin\theta} & \dfrac{\cos\phi}{r\sin\theta} & 0 \end{matrix}\right).$

これから

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\rd}{\rd x}=\sin\theta\cos\phi\df... ...{\rd}{\rd r} -\dfrac{1}{r}\sin\theta\dfrac{\rd}{\rd\theta}. \end{array}\right.$

ゆえに

$\displaystyle \frac{\rd^2 u}{\rd x^2}$	$\displaystyle = \left( \sin\theta\cos\phi\dfrac{\rd}{\rd r} +\dfrac{1}{r}\cos\t... ...\theta} -\dfrac{1}{r}\dfrac{\sin\phi}{\sin\theta}\dfrac{\rd u}{\rd\phi} \right)$
	$\displaystyle =\sin^2\theta\cos^2\phi\frac{\rd^2 u}{\rd r^2} +\frac{\cos^2\thet... ...^2 u}{\rd\theta^2} +\frac{\sin^2\phi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\rd^2 u}{\rd\phi^2}$
	$\displaystyle +\frac{2}{r}\sin\theta\cos\theta\cos^2\phi\frac{\rd^2u}{\rd\theta... ...d\phi} -\frac{2}{r^2}\cot\theta\cos\phi\sin\phi\frac{\rd^2 u}{\rd\phi\rd\theta}$
	$\displaystyle +\frac{1}{r^2}(\cot\theta\sin^2\phi-2\sin\theta\cos\theta\cos^2\p... ...u}{\rd\phi} +\frac{1}{r}(\cos^2\theta\cos^2\phi+\sin^2\phi)\frac{\rd u}{\rd r},$

$\displaystyle \frac{\rd^2 u}{\rd y^2}$	$\displaystyle = \left( \sin\theta\sin\phi\dfrac{\rd}{\rd r} +\dfrac{1}{r}\cos\t... ...\theta} +\dfrac{1}{r}\dfrac{\cos\phi}{\sin\theta}\dfrac{\rd u}{\rd\phi} \right)$
	$\displaystyle =\sin^2\theta\sin^2\phi\frac{\rd^2 u}{\rd r^2} +\frac{\cos^2\thet... ...^2 u}{\rd\theta^2} +\frac{\cos^2\phi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\rd^2 u}{\rd\phi^2}$
	$\displaystyle +\frac{2}{r}\sin\theta\cos\theta\sin^2\phi\frac{\rd^2u}{\rd\theta... ...d\phi} +\frac{2}{r^2}\cot\theta\cos\phi\sin\phi\frac{\rd^2 u}{\rd\phi\rd\theta}$
	$\displaystyle +\frac{1}{r^2}(\cot\theta\cos^2\phi-2\cos\theta\sin\theta\sin^2\p... ...u}{\rd\phi} +\frac{1}{r}(\cos^2\theta\sin^2\phi+\cos^2\phi)\frac{\rd u}{\rd r},$
$\displaystyle \frac{\rd^2 u}{\rd z^2}$	$\displaystyle = \left( \cos\theta\dfrac{\rd}{\rd r} -\dfrac{1}{r}\sin\theta\dfr... ...eta\dfrac{\rd u}{\rd r} -\dfrac{1}{r}\sin\theta\dfrac{\rd u}{\rd\theta} \right)$
	$\displaystyle =\cos^2\theta\frac{\rd^2 u}{\rd r^2} -\frac{2}{r}\cos\theta\sin\t... ...\frac{\rd u}{\rd r} +\frac{2}{r^2}\cos\theta\sin\theta\frac{\rd u}{\rd \theta}.$

これらを加えて

$\displaystyle \Laplacian u$	$\displaystyle = \frac{\rd^2u}{\rd r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\rd^2 u}{\rd \theta^2... ... +\frac{\cot\theta}{r^2}\frac{\rd u}{\rd\theta} +\frac{2}{r}\frac{\rd u}{\rd r}$
	$\displaystyle =\frac{\rd^2 u}{\rd r^2}+\frac{2}{r}\frac{\rd u}{\rd r} +\frac{1}... ...\rd u}{\rd\theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\rd^2u}{\rd\phi^2} \right). \qed$

$\qedsymbol$

このように、 (5) を得るために、すべてを連鎖律で計算していくのはとても大変なので³、色々な工夫が考えられている。