$n$ 点近似公式の作り方

$[a,b]$ 上に $n$ 個の分点 $a\le x_1<x_2<\cdots<x_n\le b$ を取り、 それらに関する $n-1$ 次補間多項式を $p_{n-1}(x)$ とする。 Lagrange の公式を用いて表わせば、

$$p_{n-1}(x)=\sum_{j=1}^n \ell_j^\ast(x)f(x_j), \quad \ell_j^\ast(x)=\prod_{i=1,i\ne j}^n\left(\frac{x-x_i}{x_j-x_i}\right).$$

多項式であることから、$I(p_{n-1})$ は簡単に表現できる。

$$I(p_{n-1})=\int_a^b p_{n-1}(x)\,\Dx=\sum_{j=1}^n \alpha_j f(x_j), \quad \alpha_j=\int_a^b \ell_j^\ast(x)\,\Dx.$$

そこで、$I(f)$ の近似として $I(p_{n-1})$ を採用してみると、これは確かに (3.1) の形をしていて、

$$\begin{eqnarray*} F_n(f)&=&I(f)-I_n(f)=\int_a^b \left(f(x)-p_{n-1}(x)\right)\,\Dx\\ &=& \int_a^b (x-x_1)\cdots (x-x_n) f[x_1,\cdots,x_n,x]\Dx. \end{eqnarray*}$$

さらに $f$ が $[a,b]$ において $C^n$-級ならば、

$$\exists\xi=\xi(x)\in(a,b)\quad\mbox{s.t.}\quad E_n(f)=\frac{1}{n!} \int_a^b (x-x_1)\cdots (x-x_n)f^{(n)}(\xi(x))\,\Dx.$$

特に $f(x)=x^k$ ($0\le k\le n-1$) ならば $f^{(n)}(x)\equiv 0$ であるから、 $E_n(f)=0$. つまり、これは少なくとも $n-1$ 次の公式である。