2.3 が正定値である場合にその Cholesky 分解を用いる方法

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2.3 が正定値である場合にその Cholesky 分解を用いる方法

(この項の要点は式番号をふった式にある。)

が正定値 (実対称で固有値がすべて正) である場合、Cholesky 分解

(2)	$\begin{displaymath} B=U^T U \end{displaymath}$

を代入して (

は正則な上三角行列であり、特に対角成分が正であるものを選ぶことができ、その場合は一意的に決定される)

$\begin{displaymath} A x=U^T U x. \end{displaymath}$

両辺に $\left(U^T\right)^{-1}$ をかけると

$\begin{displaymath} \left(U^T\right)^{-1} A x =U x. \end{displaymath}$

$\begin{jlemma}\upshape $P$ が正則であるとき、 $\left(P^T\right)^{-1}=... ... 特に正則な対称行列の逆行列は対称行列である。 \end{jlemma}$

$\begin{proof} $Q:=P^{-1}$ とすると、 $P Q=I$. これから $Q^T P^T=(PQ)^T=I^T=I$. ゆえに $\left(P^T\right)^{-1}=Q^T=(P^{-1})^T$. \qed \end{proof}$

なお、 $\left(P^T\right)^{-1}$ のことをしばしば $P^{-T}$ と書く人が多い (個人的には悪趣味だと感じているが)。

そこで

(3)	$\begin{displaymath} A':= (U^{-1})^T A U^{-1},\quad y:=U x \end{displaymath}$

とおくと明らかに

(4)			$\displaystyle A x=\lambda B x\quad\LongIff \quad A' y=\lambda y,$
(5)			$\displaystyle x=0 \quad\LongIff\quad y=0.$

が実対称であれば、も実対称である。これは次の補題から分かる。

$\begin{jlemma}\upshape $P$ が $n$ 次対称行列であるとき、任意�... ...正方行列 $Q$ について $P':=Q^T P Q$ は対称である。 \end{jlemma}$

$\begin{proof} \begin{displaymath} (P')^T=(Q^T P Q)^T=Q^T P^T (Q^T)^T=Q^T P Q=P'.\qed \end{displaymath}\end{proof}$

$\begin{jlemma} $A$, $B$ は実対称行列で、 $B$ は正定値、$B=U U^T$... ...lambda I-B^{-1}A) \quad\mbox{($\lambda\in\C$)}. \end{displaymath} \end{jlemma}$

$\begin{proof} \begin{eqnarray*} \det(\lambda I-A') &=&\det(\lambda U U^{-1}-(U... ...bda I-(U^T U)^{-1}A) = \det(\lambda I-B^{-1}A). \qed \end{eqnarray*}\end{proof}$

ここまでをまとめておこう。

$\begin{jtheorem}[対称な一般化固有値問題のコレスキー分解に基... ...Ux,Uy)\quad\mbox{($x,y\in\R^n$)}. \end{displaymath}\end{enumerate}\end{jtheorem}$

$\begin{proof} (1), (2) と (3) の前半は済んでいる。 (3) の後半に�... ...\rangle =(U u_i,U u_j)=(v_i,v_j)=\delta_{ij}. \qed \end{displaymath}\end{proof}$

さて、実対称行列の標準固有値問題については、 Rayleigh 商

$\begin{displaymath} \frac{(A'y,y)}{(y,y)} =\frac{y^T A' y}{y^T y} \end{displaymath}$

が重要な役目を果たすが、これについては次の補題が成り立つ。

$\begin{jlemma} $A$, $B$ が $n$ 次実対称行列で、$B$ は正定値で�... ...x)}{(B x,x)} =\frac{(A' y,y)}{(y,y)},\quad y:= U x. \end{equation}\end{jlemma}$

$\begin{proof} 最初に $x\ne 0$ $\Iff$ $y\ne 0$ であることを注意し... ...T A U^{-1}y,y)}{(y,y)} =\frac{(A'y,y)}{(y,y)}.\qed \end{displaymath}\end{proof}$

$\begin{jcorollary} $A$, $B$ が $n$ 次実対称行列で、$B$ は正定値... ...ての $k$ 次元部分空間を走ることを意味する。 \end{jcorollary}$

$\begin{jremark}[数値計算する上での注意] ただし、 $A$, $B$ が�... ...��夫が有用である。後述の Lanczos 法の節を見よ。 \end{jremark}$

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桂田祐史
2014-05-27