A. 宮寺 [2] から

ところで (実数値関数と異なり) Banach 空間値関数 $x\colon [a,b]\to X$ は 絶対連続であるというだけでは、 ほとんど到るところ微分できるとは限らない。 しかし次の定理が成り立つ。

このとき

$$z(t):=y(a)+\int_a^t x(s)\,\D s$$   $$\mbox{($t\in[a,b]$)}$$

は定理 A.1 より 絶対連続かつほとんど到るところ強微分可能な 関数で、 $z'(t)=x(t)$ (a.e. on $[a,b]$ ) を 満たすが、 $z(t)\equiv y(t)$ とは限らない。 しかし、上の仮定に加えて

$\forall f\in X'$ に対して $[a,b]\ni t\mapsto \left\langle{f},{y(t)}\right\rangle \in\R$ は絶対連続である ($y$ の弱連続性)

を仮定すると $z(t)\equiv y(t)$ . すなわち

$$y(t)=y(a)+\int_a^t x(s)\,\D s$$   $$\mbox{($t\in[a,b]$)}$$$$.$$

なお $X$ が回帰的ならば、関数が有界変分であることから、 ほとんど到るところ弱微分可能であり、 弱導関数が Bochner 可積分であることが分かる (田辺 [5])。