3 (Bochner 積分版) 微分積分学の基本定理

この節の内容は日本語では 宮寺 [2], 田辺 [5] が詳しい。

Banach 空間値関数に定理 $\mathrm{I}'$ が拡張される。 すなわち、次の定理が成り立つ。

これは定理A.1 である。 証明は宮寺 [2], 田辺 [5], 吉田 [5] を見よ。 $\qedsymbol$

これは定理A.2 の簡単な系である。 証明は宮寺 [2], 田辺 [5] を見よ。 $\qedsymbol$

この定理の結果の式は

$$\int_a^b y'(t)\,\D t=\left[y(t)\right]_a^b$$

であるが、 Banach 空間値の関数に対しては $y\in\mathrm{AC}$ というだけでは $y'$ の存在 は保証されない (つまり一般の Banach 空間値の関数については、 Radon-Nikodym の定理は成立しない) ことに注意する。

さて、部分積分であるが、 一般の Banach 空間では積が定義されないので、 とりあえずは次の命題を目標としよう (多分 Banach 環ならば大丈夫だと思う)。

Radon-Nikodym の定理より、$x$ はほとんど到るところ微分可能で、 $x'$ は可積分である。 また 定理 A.2 より、 $y$ はほとんど到るところ強微分可能で、$y'$ は可積分となる。 ゆえにほとんど到るところで

$$\left(x(t)y(t)\right)'=x'(t)y(t)+x(t)y'(t)$$

が成り立ち、両辺は可積分である (右辺の各項は連続関数と可積分関数の積として可積分である)。

$$\int_a^b \left(x(t)y(t)\right)'\,\D t =\int_a^b x'(t)y(t)\,\D t+\int_a^b x(t)y'(t)\,\D t.$$

左辺について、$x y$ は絶対連続で、ほとんど到るところ $(x y)'$ が存在して、$L^1$ に属するので、 定理 $\mathrm{II}''$ が使えて $\left[x(t)y(t)\right]_a^b$ に等しい。 $\qedsymbol$