1.2 零集合、完備な測度空間

測度空間 $(X,{\cal B}, \mu)$ の部分集合 $A$ が零集合であるとは、

$$A\in {\cal B},\quad \mu(A)=0$$

を満たすことと定義する。

$\R^n$ の Lebesgue 測度の場合は、簡単な言い換えがある。

測度空間 $(X,{\cal B}, \mu)$ あるいは測度 $\mu$ が完備であるとは、 任意の零集合の部分集合が可測であることと定義する。

$\R^n$ の Lebesgue 測度は完備である。

$A$ が零集合であるとき、その部分集合 $B$ は可測であれば、 測度の単調性から、

$$0\le \mu(B)\le \mu(A)=0$$

となるので、$\mu(B)=0$. ゆえに $B$ は零集合に他ならない。 したがって、完備であることの条件を 「任意の零集合の部分集合が零集合である」と言ってもよい。