3.2 局所可積分

$\Omega$ を $\R^n$ の開集合, $p\in[1,\infty)$ とする。 可測関数 $f\colon\Omega \to \C$ が $p$ 乗局所可積分であるとは、 $\Omega$ に含まれる任意のコンパクト集合 $K$ に対して、

$$\int_K\vert f(x)\vert^p\Dx<\infty$$

が成り立つことと定義する。

$\Omega$ 上の $p$ 乗可積分関数全体を $L^p_{loc}(\Omega)$ と表わす。

$$L^p(\Omega)\subset L^p_{loc}(\Omega)\subset L^1_{loc}(\Omega).$$

$f\in L^1_{loc}(\Omega)$ とするとき、 $\forall \varphi\in C_0(\Omega)$ に対して $f \varphi$ は $\Omega$ 上可積分である。特に $\varphi\in C_0^\infty(\Omega)$ に対して、

$$\int_\Omega f(x)\varphi(x)\Dx$$

は意味を持ち、実は $\varphi\mapsto \int_\Omega f\varphi$ は超関数 になる。