B..3 3重対角行列の固有多項式と Strum 列

$$T=\left( \begin{array}{ccccc} a_1 & b_1 & 0 & & \bigzerou \\ ... ...} & a_{N-1} & b_{N-1} \\ \bigzerol & & 0 & b_{N-1} & a_N \end{array} \right)$$

を実対称三重対角行列とする。

以下 $b_k\ne 0$ ( $k=1,2,\cdots,N-1$ ) と仮定する。 もしある $k$ に対して $b_k=0$ ならば

$$T = \left(\begin{array}{cc}T' & O \\ O & T''\end{array}\right)$$

とブロック分けでき、$T'$ , $T''$ の固有値を求める問題に帰着できるから、 一般性は失われない。

$p_k(\lambda)$ を $\lambda I-T$ の $k$ 次首座小行列式とする ( $k=0,1,\cdots,N$ )。すなわち

$$p_k(\lambda):= \left\{ \begin{array}{ll} \det(\lambda I_k-T_k) & \mbox{($k=1,2,\cdots,N$)}\\ 1 &\mbox{($k=0$)}. \end{array} \right.$$ (19)

ただし、

$$I_k=$$$$\mbox{$k$\ 次の単位行列}$$$$,\quad T_k=\left( \begin{array}{ccccc} a_1 & b_1 & 0 & & \bigz... ... & a_{k-1} & b_{k-1} \\ \bigzerol & & 0 & b_{k-1} & a_k \end{array} \right).$$

すぐ分かる命題を二つ。

証明. 行列式の展開定理を用いる。$\qedsymbol$ $\qedsymbol$

証明.

(1)

もしも $p_k(\lambda_0)=p_{k+1}(\lambda_0)=0$ とすると、漸化式から ${b_k}^2p_{k-1}(\lambda_0)=0$ . $b_k=0$ と仮定したから $p_{k-1}(\lambda_0)=0$ . これを繰り返すと

$$0=p_{k+1}(\lambda_0)=p_k(\lambda_0)=p_{k-1}(\lambda_0)=\cdots =p_{2}(\lambda_0)=p_1(\lambda_0)=p_0(\lambda_0).$$

これから

$$p_0(\lambda_0)=0$$

これは $p_0(\lambda)\equiv 1$ に矛盾する。

(2)

$p_k(\lambda_0)=0$ を漸化式に代入すると $p_{k+1}(\lambda_0)=-{b_k}^2 p_{k-1}(\lambda_0)$ . 前項より左辺 $\ne 0$ . これから $p_{k+1}(\lambda_0)$ , $p_{k-1}(\lambda_0)$ は異符号である。

(3)

$p_0(\lambda)\equiv 1$ であるから明らか。

(4)

漸化式

$$p_{k}(\lambda)= (\lambda-a_{k})p_{k-1}(\lambda)-{b_{k-1}}^2 p_{k-2}(\lambda)$$ (20)

を微分すると、

$$p_{k}'(\lambda)= p_{k-1}(\lambda)+(\lambda-a_{k})p_{k-1}'(\lambda) -{b_{k-1}}^2p_{k-2}'(\lambda).$$ (21)

$(\ref{eq:漸化式の微分})\times p_{k-1}(\lambda)-(\ref{eq:漸化式})\times p_{k-1}'(\lambda)$ より

$$p_{k}'(\lambda)p_{k-1}(\lambda)-p_{k}(\lambda)p_{k-1}'(\lambda) ... ...{k-2}(\lambda)-p_{k-1}(\lambda)p_{k-2}'(\lambda) \right) +p_{k-1}(\lambda)^2$$

という漸化式が得られる。ここで

$$q_{k}(\lambda) := p_{k}'(\lambda)p_{k-1}'(\lambda) -p_{k}(\lambda)p_{k-1}(\lambda)$$

とおくと、漸化式は

$$q_{k}(\lambda)=p_{k-1}(\lambda)^2 +b_{k-1}^2q_{k-1}(\lambda)$$   $$\mbox{($k=2,3,\cdots,N$)}$$$$.$$

となる。ところで

$$q_1(\lambda)=p_{1}'(\lambda)p_{0}(\lambda) -p_{1}(\lambda)p_{0}'(\lambda) =p_{1}'(\lambda)=1\cdot1-(\lambda-\alpha_1)\cdot 0=1>0$$

であるから、以下帰納的に

$$q_k(\lambda)>0$$   $$\mbox{($k=2,3,\cdots,N$)}$$

が示せる。特に

$$q_{N}(\lambda)=p_{N}'(\lambda)p_{N-1}(\lambda) -p_{N}(\lambda)p_{N-1}'(\lambda)>0$$

であるが、 $p_N(\lambda)=0$ であるから

$$p_{N}'(\lambda)p_{N-1}(\lambda)>0. \quad\qed$$

$\qedsymbol$