2.4 固有ベクトルから固有値を求める方法

誤差がなければ、 $A x=\lambda x$ の適当な($x_i\ne 0$ となる $i$ に 対する)成分に対応する方程式

$$\sum_{j=1}^n a_{i j}x_j = \lambda x_i$$

の両辺を $x_i$ で割れば $\lambda$ が求まるが、$x$ が近似的な固有ベクト ルでしかない場合には、 以下に解説する Rayleigh³ 商を用いる方法の方が良い。

証明.

$$\Vert A x-\lambda x\Vert^2 = (Ax,Ax)-\lambda(Ax,x)-\overline{\lambda}(x,Ax)+\vert\lambda\vert^2\Vert x\Vert^2$$

$$= \Vert x\Vert^2 \left[ \lambda-\frac{(x,Ax)}{\Vert x\Vert^2} \r... ... x\Vert^2} \right] +\Vert Ax\Vert^2-\frac{\vert(x,Ax)\vert^2}{\Vert x\Vert^2}$$

$$= \Vert x\Vert^2 \left\vert \lambda-\frac{(x,Ax)}{\Vert x\Vert^2} \right\vert^2 +\Vert Ax\Vert^2-\frac{\vert(x,Ax)\vert^2}{\Vert x\Vert^2}.\qed$$

$\qedsymbol$

$x$ を $A$ の近似固有ベクトルとする時、Rayleigh 商

$$\lambda'=\frac{\left(A x, x\right)}{(x,x)}$$

は $x$ に対応する固有値の良い近似になる。粗く言って

$$\hbox{固有値の誤差} = O(\hbox{固有ベクトルの誤差}^2)$$

が成り立つ。詳しくは次の命題を見よ。

証明. 省略。一松 [7] あるいは [3] を見よ。 $\qedsymbol$