9.3 2分法の一般化固有値問題への拡張

$A$ を実対称, $B$ を正値対称行列とするとき、

$$A x=\lambda B x,\quad x\ne 0$$

を満たす $\lambda$ , $x$ を求めよ、という一般化固有値問題を考える。

(1)

固有値 $\lambda$ はすべて実数である。

(2)

$(A,B)$ の固有値の正のものの個数 $\widehat\pi(A,B)$ は$\pi(A)$ に 等しい。

(3)

任意に与えた実数 $\sigma$ に対して、 $A-\sigma B =L D L^T$ と ${\rm LDL}^T$ 分解すれば、 $D$ の対角要素のうち正, 0 , 負のものの個数が、 $\sigma$ より大きい、等しい、小さい固有値 $\lambda$ の個数を与える。