1 いろは

$A\in\C^{n\times n}$ に対して、

$$A x=\lambda x,\quad x\ne 0$$

を満たす $x$ が存在するとき、 $\lambda$ を $A$ の固有値 (eigenvalue) と呼び、 $x$ を $\lambda$ に属する固有ベクトル (eigenvector) と呼ぶ。

$\lambda$ が $A$ の固有値であることと、

$$\ker (\lambda I-A)=\{x\in\C^n; Ax=\lambda x\}$$

が $\{0\}$ でないことは同値である。

$\lambda$ が $A$ の固有値であるとき、 $\ker (\lambda I-A)$ を 固有空間 (eigenspace) と呼ぶ。

$A$ の固有多項式に重根がないときはちょうど $n$ 個 (相異なる) 固有値が 存在することになるが、重根がある場合はその重複度分だけ同じものをならべて、 $\lambda_1$ , $\cdots$ , $\lambda_n$ と書くことが多い。以下、 $n$ 次正方行列 $A$ について、$A$ の固有値は $\lambda_1$ , $\cdots$ , $\lambda_n$ である、と言ったときはそういう意味である。 例えば、 「対角行列 $D=\diag(d_1,\cdots,d_n)$ の固有値は対角成分 $d_1$ , $\cdots$ , $d_n$ である。」…このことの証明は $D$ の固有多項式についての等式

$$\det(\lambda I-D)=\prod_{i=1}^n (\lambda-d_i)$$

による。ちなみにこの事実は三角行列に対して一般化できる。 すなわち「$A$ が上三角行列または下三角行列とするとき、 $A$ の固有値は対角成分 $a_{11}$ , $\cdots$ , $a_{nn}$ である」。

証明. ヴァンデルモンドの行列式を使う。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

この命題の状況のように、 $A$ の固有値 $\lambda_1$ , $\cdots$ , $\lambda_n$ に属する 固有ベクトル $p_1$ , $\cdots$ , $p_n$ が全空間の基底となるとき、 $P=(p_1,\cdots,p_n)$ とおくと、これは非特異で

$$P^{-1} AP=\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n).$$

このように適当な非特異行列 $P$ に対して、 $P^{-1} A P$ が対角行列 $\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$ になるとき、 $A$ は対角化可能という。 このとき、$\lambda_i$ は $A$ の固有値で、 $p_i$ は $\lambda_i$ に属する固有ベクトル、 $p_1$ , $\cdots$ , $p_n$ は全空間の基底となる。

$\lambda$ を $A$ の固有値とするとき、 $\overline\lambda$ は $A^*$ の固有値であるが、 その固有ベクトル $x$ は

$$A^* x=\overline \lambda x$$

を満たすので、

$$x^* A=\lambda x^*$$

を満たす。 $y A=\lambda y$ , $y\ne 0$ を満たす $y$ のことを 固有値 $\lambda$ に属する行固有ベクトルとよぶ。