C..3 解析的係数を持つ線型常微分方程式 (2) 確定特異点の場合

$\vert x-x_0\vert<r_0$ において解析的係数を持つ2階線型常微分方程式

$$a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0$$ (12)

において、$x_0$ が特異点 (i.e. $a(x_0)=0$ ) である場合、 $p(x):=b(x)/a(x)$ , $q(x):=c(x)/a(x)$ とおくと、 $x_0$ は $p(x)$ , $q(x)$ の極となる可能性がある。

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$ (13)

の係数 $p(x)$ , $q(x)$ が $x_0$ をそれぞれ高々 1 位の極、 高々 2 位の極となっているとき、$x_0$ を確定特異点とよぶ。

(12) にもどると、 $x_0$ が $a(x)$ の高々 2 位の零点であるならば、 $x_0$ は確定特異点ということになる。