B..5 ガンマ関数

(Euler の) ガンマ関数とは、 $\mathrm{Re} z>0$ なる $z\in\C$ に対して次式で定義される。

$$\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x}x^{z-1} \D x$$   $$\mbox{($\mathrm{Re} z>0$)}$$$$.$$

これは正則関数なので、解析接続によって拡張され、 0 以下の整数全体が極全体となる有理型関数となる。

実変数の関数とみたときのグラフを次に掲げる。

任意の $z\in\C$ に対して

$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$

がなりたち、特に $n\in\N$ に対して

$$\Gamma(n)=(n-1)!.$$