B..4 台形公式による数値計算

母関数 (generating function)

$$\exp\left[\frac{1}{2}z\left(t-\frac{1}{t}\right)\right] =\sum_{n\in\Z}J_n(z)t^n.$$

留数定理から、 原点を正の向きに一周する閉曲線 $\C$ に対して

$$J_n(z)=\frac{1}{2\pi i} \oint_C \exp\left[\frac{1}{2}z\left(t-\frac{1}{t}\right)\right] t^{-(n+1)} \D z.$$

これから

$$J_n(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{i(z\sin\theta-n\theta)} \D\theta =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \cos(z\sin\theta-n\theta) \D\theta.$$

最後の積分は、 解析的周期関数の一周期に渡る積分なので、 台形公式で高精度に計算できる。 例えば、$J_4(5)$ の計算に、 区間を $32$ 等分した台形公式で $10^{-16}$ オーダーの精度が出る (桂田 [5])。