A..1.2 円の面積、球の表面積・体積

円周と直径の比として定義されたので、

「半径 $r$ の円の円周は $2\pi r$ 」

は当たり前ですが、

「半径 $r$ の円の面積は $\pi r^2$ 」

は、全然当たり前ではありません。 事実そのものは早くから知られていたと思われますが、 初めて証明をしたのはアルキメデスと言われています⁵(ちなみにアルキメデスは、 球の表面積 $4\pi r^2$ と体積 $4\pi r^3/3$ を発見し、 そのことを証明したことで非常に名高い)。

余談になりますが、 円周、円の面積、球の表面積、球の体積の いずれにも $\pi$ が ($\pi^2$ , $\pi^3$ でなく) 生で現れるのは、 不思議と言えば不思議です (2年生は、 後期に一般の $n$ 次元球の「体積」や「表面積」を学ぶ機会がありますが、 そのときにどうなるか、目を凝らして見て下さい)。