2007 年度多変数の微分積分学2, 多変数の微分積分学演習2 試験問題

担当    桂田 祐史
2008年1月29日 (火曜) 13:00〜15:00
ノート等持込不可, 解答用紙のみ提出

1. (1) $\R^2$ の有界部分集合 $X$ で、Jordan 可測でないものの例をあげよ。 また、それが Jordan 可測でないと判断できる理由を簡単に説明せよ。 (2) $\R^2$ の有界部分集合 $Y$ で、 (i) $Y$ はJordan 可測、(ii) $Y$ のJordan 測度 $\mu_2(Y)$ は正、 (iii) $Y$ は閉方体でない、という条件を満たすものの例をあげよ。 また $Y$ が Jordan 可測であると判断できる理由を簡単に説明せよ。

2. (1) $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,1)$ を頂点とする三角形 $\Omega$ に対して、 $I=\dsp\dint_\Omega 3x^2 y\;\DxDy$ を求めよ。 (2) $J=\dsp\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \left(\int_{y/2}^{\sqrt{\pi}/2}\sin\left(x^2\right)\;\Dx\right)\Dy$ の値を求めよ。
(3) $z=x^2+y^2$ と $z=1-x^2-y^2$ で囲まれた範囲 $\Omega$ の体積を求めよ。

3. $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ を頂点とする三角形 (内部及び周) を $D$, $(0,0)$, $(12,11)$, $(14,13)$ を 頂点とする三角形 (内部及び周) を $\Omega$ とするとき、 以下の問に答えよ。
(1) $\dsp\dint_D u\;\D u \D v$, $\dsp\dint_D v\;\D u \D v$ を 空間図形の体積と解釈して値を求めよ。 (2) $\Vector{\varphi}(u,v)= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}u v \end{pmatrix}$ ($a$, $b$, $c$, $d$ は定数) の形をしている $\Vector{\varphi} \colon\R^2\to\R^2$ で、 $\Vector{\varphi}(D)=\Omega$ を満たすものを1つ求めよ。
(3) $\Omega$ の面積を求めよ。 (4) 変数変換を利用して、 $\dsp\dint_\Omega x\;\DxDy$ を求めよ。

4. (1) $\Vector{\varphi}(r,\theta,\phi)= (r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)^T$ の ヤコビアンを計算して求めよ。
(2) $\Omega=\{(x,y,z); x^2+y^2+z^2\le 1\}$ とするとき、 $\dsp\tint_\Omega\frac{\log\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2\;}} \;\DxDyDz$ を求めよ。
(3) $\Omega=\{(x,y,z); x^2+y^2+z^2\ge 1\}$ とするとき、 $\dsp\tint_{\Omega}\frac{\log\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2 \right)^2}\DxDyDz$ を求めよ。

5. $\R^3$ のベクトル場 $\Vector{f}$ を、

$$\Vector{f}(x,y,z) :=\left(x(x^2+y^2+z^2),y(x^2+y^2+z^2),z(x^2+y^2+z^2)\right)^T$$

で定めるとき、以下の問に答えよ。
(1) $\rot\Vector{f}$ を定義に従い計算して求めよ。 (2) $\R^3$ が単連結であることを説明せよ。 (3) 原点を始点、 $\Vector{x}=(x,y,z)^T$ を終点とする 有向線分を $C_{\Vector{x}}$ とするとき、 $\dsp\int_{C_{\Vector{x}}}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r}$ を求めよ。 (4) 曲線 $C\colon\Vector{r}=\Vector{\varphi}(t)=(\sin t,\cos t, \pi^2-t^2)$ ( $t\in [-\pi,\pi]$) に対して、 $\dsp\int_{C}\Vector{f}\cdot \D\Vector{r}$ を求めよ。

6. パラメーター曲面 $$S\colon\Vector{r}=\Vector{\varphi}(u,v)= \left( \begin{array}{c} R\cos u\cos v R\cos u\sin v R\sin u \end{array}\right)$$ ( $(u,v)\in[-\pi/2,\pi/2]\times[-\pi,\pi]$) について (ただし $R$ は正定数とする)、以下の問に答えよ。

(1)

$\dfrac{\rd\Vector{\varphi}}{\rd u} \times\dfrac{\rd\Vector{\varphi}}{\rd v}$ と $\left\Vert\dfrac{\rd\Vector{\varphi}}{\rd u} \times\dfrac{\rd\Vector{\varphi}}{\rd v}\right\Vert$ を求めよ (途中経過をある程度書くこと)。

(2)

上の結果を用いて、$S$ の曲面積を求めよ。