A.8 次数低下

Durand-Kerner 法のように代数方程式 $p(x)=0$ の全根を同時に探索する方法 を採用した場合には必要ないが、例えば Newton 法のような方法で、一つの根の 近似根 $\xi$ を求めた後、$p(x)$ を $(x-\xi)$ で割って、 $1$ 次低い代数方程式に還元することを次数低下 あるいは減次 (deflation) と呼ぶ。

次数低下をする際に、除法を「いつでも最高次の項から行う」のは危ない (一松 [13] の 21 を見よ)。

この点については、櫻井 [19] に詳しい。

$n$ 次多項式 $f(x)$ を $x-\alpha$ で割った商を $q(x)$, 剰余を $r$ とおくと、

$$f(x)=q(x)(x-\alpha)+r$$

であり、 $f(\alpha)=r$ であるから、$\alpha$ が $f(x)$ の根のときは $r=0$ となる。

また $Q(x)$, $R$ を

$$f(x)=Q(x)(x-\alpha)+R x^n$$

を満たすように決めた場合にも $f(\alpha)=0$ のときには $R=0$ であり、従って $q(x)=Q(x)$ であるが、数値計算で求める場合、 丸め誤差の観点からは二つのやり方に差がある。 前者を高次項からの減次、後者を低次項からの減次という。