$n$ 階方程式への拡張

$n$ 階の微分方程式

$$y^{(n)}+a_1 y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_n y=f(x)$$

への拡張について説明しておく。

特性根を $\alpha_1$, $\cdots$, $\alpha_n$ として、

$$G(x)=e^{\alpha_1 x}\ast e^{\alpha_2 x}\ast \cdots \ast e^{\alpha_n x}, \quad u(x)=G\ast f(x)$$

とおくと、$u$ は

$$u^{(n)}+a_1 u^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}u'+a_n u=f(x),\quad u(0)=u'(0)=\cdots=u^{(n-1)}(0)=0$$

をみたす。Green 関数 $G$ の計算には Laplace 変換が役立つ。

$${\cal L}[G](s) = {\cal L}[e^{\alpha_1 x}\ast\cdots\ast e^{\alpha_... ...ts{\cal L}[e^{\alpha_n x}](s) =\frac{1}{s-\alpha_1}\cdots\frac{1}{s-\alpha_n}.$$

この右辺を部分分数分解してから、 Laplace 逆変換すれば $G$ が求められる。

特に特性根が相異なるならば、この右辺は

$$\frac{1}{s-\alpha_1}\cdots\frac{1}{s-\alpha_n}= \sum_{j=1}^n\frac{A_j}{s-\alpha_j},\quad A_j=\prod_{j\ne k}(\alpha_k-\alpha_j)$$

と部分分数分解できるので、容易に

$$G(x)=\sum_{j=1}^n A_j e^{\alpha_j x}$$

であることがわかる。 なお、$G$ は次の条件で特徴づけられる:

$$G^{(n)}+a_1 G^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}G'+a_n G=0,$$

$$G(0)=G'(0)=\cdots=G^{(n-2)}(0)=0,\quad G^{(n-1)}(0)=1.$$