(* ハイポサイクロイド *)

a=5; b=1; phi[t_]:={(a-b)Cos[t]+b Cos[(b-a)t/b],(a-b)Sin[t]+b Sin[(b-a)t/b]}

ParametricPlot[phi[t],{t,0,2Pi}]

(* エピサイクロイド *)

aa=3;bb=1; psi[t_]:={(aa+bb)Cos[t]-bb*Cos[(aa+bb)t/bb],(aa+bb)Sin[t]-bb*Sin[(aa+bb)t/bb]}

ParametricPlot[psi[t],{t,0,2Pi}]

(* ホモトピー写像で連続的変形 *)

F[t_,s_]:=(1-s)phi[t]+s psi[t]

Manipulate[ParametricPlot[F[t,s],{t,0,2Pi},PlotRange->{{-5,5},{-5,5}}],{s,0,1,0.02}]